Вариант 2 Контрольная работа 6 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Элементы комбинаторики и теории вероятностей
1. Найдите значение выражения:
1) (6P(11)-P(10))/(13P(9)); 2) C(7, 4)/A(6, 3).
2. В коробке лежат шары, из которых шестнадцать — белые, а остальные — красные. Сколько в коробке красных шаров, если вероятность того, что выбранный наугад шар окажется красным, равна 5/9?
3. Сколько нечётных четырёхзначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 5 и 6?
4. Найдите все натуральные значения n, при которых выполняется неравенство 3^n?12n-9.
5. В классе учится 14 девочек и 13 мальчиков. Сколько существует способов сформировать команду из б человек для участия в спортивной эстафете, если в команде должно быть 3 девочки и 3 мальчика?
б. Из натуральных чисел от 1 до 37 включительно наугад выбирают семь чисел. Какова вероятность того, что среди выбранных чисел не менее двух окажутся кратными числу 4?

1. $$\frac{6P_{11}-P_{10}}{13P_9}=\frac{6\cdot 11!-10!}{13\cdot 9!}$$

   $$=\frac{6\cdot 11\cdot 10\cdot 9!-10\cdot 9!}{13\cdot 9!}=\frac{660-10}{13}=\frac{650}{13}=50.$$

   $$\frac{C_7^4}{A_6^3}=\frac{\frac{7!}{4!\,3!}}{\frac{6!}{3!}}=\frac{7!}{4!\,3!}\cdot\frac{3!}{6!}=\frac{7\cdot 6\cdot 5}{3\cdot 2\cdot 4\cdot 3}=\frac{7}{24}.$$

2. Пусть красных шаров $$m$$. Тогда всего шаров $$16+m$$.

   По условию:

   $$\frac{m}{16+m}=\frac{5}{9}.$$

   $$9m=5(16+m),$$

   $$9m=80+5m,$$

   $$4m=80,$$

   $$m=20.$$

3. Нечётное четырёхзначное число составляется из цифр $$1,2,3,5,6$$ без повторений.

   Последняя цифра — одна из нечётных: $$1,3,5$$, то есть $$3$$ варианта.

   Остальные три цифры можно выбрать и расставить $$4\cdot 3\cdot 2$$ способами.

   $$N=3\cdot 4\cdot 3\cdot 2=72.$$

4. Проверим натуральные значения $$n$$:

   $$n=1:\quad 3^1=3,\quad 12\cdot 1-9=3;$$

   $$n=2:\quad 3^2=9,\quad 12\cdot 2-9=15;$$

   $$n=3:\quad 3^3=27,\quad 12\cdot 3-9=27.$$

   При $$n\ge 4$$ имеем $$3^n>12n-9$$, значит неравенство выполняется.

   Следовательно, подходят все натуральные $$n$$, кроме $$n=2$$.

5. Нужно выбрать $$3$$ девочки из $$14$$ и $$3$$ мальчика из $$13$$:

   $$N=C_{14}^3\cdot C_{13}^3.$$

   $$C_{14}^3=\frac{14\cdot 13\cdot 12}{3\cdot 2\cdot 1}=364,\qquad C_{13}^3=\frac{13\cdot 12\cdot 11}{3\cdot 2\cdot 1}=286.$$

   $$N=364\cdot 286=104104.$$

6. Кратных числу $$4$$ среди чисел от $$1$$ до $$37$$ ровно $$9$$:

   $$4,8,12,16,20,24,28,32,36.$$

   Всего способов выбрать $$7$$ чисел:

   $$C_{37}^7.$$

   Найдём вероятность противоположного события: среди выбранных чисел меньше двух кратных $$4$$, то есть либо $$0$$, либо $$1$$ такое число.

   Чисел, не кратных $$4$$, всего $$37-9=28$$.

   Тогда

   $$P(A)=1-\frac{C_{28}^7+C_{28}^6\cdot C_9^1}{C_{37}^7}.$$

   $$P(A)=1-\frac{1184040+3390660}{10295472}=1-\frac{4574700}{10295472}\approx 0{,}56.$$

Ответ

1) $$50$$; $$\frac{7}{24}$$; 2) $$20$$; 3) $$72$$; 4) $$n\ne 2$$; 5) $$104104$$; 6) $$0{,}56$$.