Вариант 2 Самостоятельная работа 9 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Решение неравенств методом интервалов
1. Решите неравенство:
1) (x+6)(x-1)(x-7) > 0;
2) (x+4)(6-x)^8 (3x-1)^5 > 0;
3) 4x/(x^2-6x+5)+3/(x-1)?2/(x-5);
4) (x^2-49)v(x^2-4)?0.
2. Найдите множество решений неравенства |x-a|(2x^2-x-3)?0 в зависимости от значения параметра a.

1. $$ (x+6)(x-1)(x-7)>0 $$

   Нули произведения: $$x=-6,\; x=1,\; x=7.$$

   Знаки на промежутках чередуются, поэтому

   $$x\in(-6;1)\cup(7;+\infty).$$

2. $$ (x+4)(6-x)^8(3x-1)^5>0 $$

   Так как $$ (6-x)^8\ge 0 $$ и при $$x=6$$ выражение равно нулю, то для строгого неравенства нужно $$x\ne 6.$$

   Остаётся рассмотреть знак произведения $$ (x+4)(3x-1)^5. $$ Поскольку степень 5 нечётная, знак определяется множителем $$3x-1.$$

   Получаем

   $$ (x+4)(3x-1)>0,\qquad x\ne 6. $$

   Отсюда

   $$x<-4 \quad \text{или} \quad x>\frac13,\qquad x\ne 6.$$

   Значит,

   $$x\in(-\infty;-4)\cup\left(\frac13;6\right)\cup(6;+\infty).$$

3. $$ \frac{4x}{x^2-6x+5}+\frac{3}{x-1}\ge \frac{2}{x-5} $$

   Разложим знаменатель:

   $$x^2-6x+5=(x-1)(x-5),\qquad x\ne 1,\; x\ne 5.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \frac{4x}{(x-1)(x-5)}+\frac{3(x-5)}{(x-1)(x-5)}-\frac{2(x-1)}{(x-1)(x-5)}\ge 0 $$

   $$ \frac{4x+3(x-5)-2(x-1)}{(x-1)(x-5)}\ge 0 $$

   $$ \frac{5x-13}{(x-1)(x-5)}\ge 0. $$

   Критические точки: $$x=1,\; x=\frac{13}{5},\; x=5.$$

   По методу интервалов получаем

   $$x\in\left(1;\frac{13}{5}\right]\cup(5;+\infty).$$

4. $$ (x^2-49)\sqrt{x^2-4}\ge 0 $$

   Область определения:

   $$x^2-4\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\le -2 \;\text{или}\; x\ge 2.$$

   Разложим первый множитель:

   $$x^2-49=(x-7)(x+7).$$

   Тогда

   $$ (x-7)(x+7)\sqrt{x^2-4}\ge 0. $$

   Так как $$\sqrt{x^2-4}\ge 0,$$ то неравенство выполняется, когда $$x^2-49\ge 0,$$ а также при $$\sqrt{x^2-4}=0.$$

   Получаем

   $$x\le -7,\quad x=-2,\quad x=2,\quad x\ge 7.$$

   Значит,

   $$x\in(-\infty;-7]\cup\{-2;2\}\cup[7;+\infty).$$

5. $$ |x-a|(2x^2-x-3)\le 0 $$

   Так как $$|x-a|\ge 0,$$ то произведение не положительно только в двух случаях:

   либо $$|x-a|=0,$$ либо $$2x^2-x-3\le 0.$$

   Решим квадратное неравенство:

   $$ 2x^2-x-3\le 0 $$

   $$ D=(-1)^2-4\cdot 2\cdot(-3)=25 $$

   $$ x_{1,2}=\frac{1\pm 5}{4} $$

   $$ x_1=-1,\qquad x_2=\frac32. $$

   Следовательно,

   $$2x^2-x-3\le 0 \quad \Rightarrow \quad x\in\left[-1;\frac32\right].$$

   Если $$a\in\left[-1;\frac32\right],$$ то точка $$x=a$$ уже входит в этот промежуток, и множество решений:

   $$x\in\left[-1;\frac32\right].$$

   Если $$a\notin\left[-1;\frac32\right],$$ то к этому промежутку добавляется точка $$x=a.$$

Ответ

1) $$(-6;1)\cup(7;+\infty)$$;

2) $$(-\infty;-4)\cup\left(\frac13;6\right)\cup(6;+\infty)$$;

3) $$\left(1;\frac{13}{5}\right]\cup(5;+\infty)$$;

4) $$(-\infty;-7]\cup\{-2;2\}\cup[7;+\infty)$$;

5) если $$a\in\left[-1;\frac32\right],$$ то $$x\in\left[-1;\frac32\right];$$ если $$a\notin\left[-1;\frac32\right],$$ то $$x\in\left[-1;\frac32\right]\cup\{a\}.$$