Вариант 2 Самостоятельная работа 8 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Решение квадратных неравенств
1. Решите неравенство:
1) x^2+2x-35 < 0; 2) -5x^2+2x-1 > 0;
3) 4x^2-12x+9 > 0.
2. Найдите область определения функции
y=(4x-6)/v(x^2+2x-48)+v(20-2x).
3. Решите неравенство |x^2-6| > x+6.
4. При каких значениях параметра a неравенство ax^2+5ax+4a+3 < 0 не имеет решений?

Подробный ответ

$$x^2+2x-35<0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-35)=4+140=144$$
$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 12}{2}$$
$$x_1=-7,\quad x_2=5$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то неравенство выполняется между корнями:
$$x\in(-7;5)$$
$$-5x^2+2x-1>0$$
Умножим неравенство на $$-1$$, изменив знак:
$$5x^2-2x+1<0$$
Рассмотрим дискриминант:
$$D=(-2)^2-4\cdot 5\cdot 1=4-20=-16$$
Так как $$D<0$$ и $$5>0$$, квадратный трёхчлен всегда положителен, значит неравенство решений не имеет.
$$4x^2-12x+9>0$$
Преобразуем выражение:
$$4x^2-12x+9=(2x-3)^2$$
Тогда
$$ (2x-3)^2>0 $$
Квадрат числа положителен при всех $$x$$, кроме случая, когда он равен нулю:
$$2x-3\ne 0,\quad x\ne \frac{3}{2}$$
Следовательно,
$$x\in(-\infty;\tfrac{3}{2})\cup(\tfrac{3}{2};+\infty)$$

2. Найдём область определения функции

$$y=\frac{4x-6}{\sqrt{x^2+2x-48}}+\sqrt{20-2x}$$

Подкоренное выражение в знаменателе должно быть строго положительным:

$$x^2+2x-48>0$$

$$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-48)=4+192=196$$

$$x_{1,2}=\frac{-2\pm 14}{2}$$

$$x_1=-8,\quad x_2=6$$

Тогда

$$x<-8 \quad \text{или} \quad x>6$$

Кроме того, подкоренное выражение второго корня должно быть неотрицательным:

$$20-2x\ge 0$$

$$x\le 10$$

Пересекаем условия:

$$x\in(-\infty;-8)\cup(6;10]$$

3. Решим неравенство

$$|x^2-6|>x+6$$

Рассмотрим два случая.

1) $$x^2-6\ge 0$$, тогда $$|x^2-6|=x^2-6$$ и

$$x^2-6>x+6$$

$$x^2-x-12>0$$

$$ (x+3)(x-4)>0 $$

$$x<-3 \quad \text{или} \quad x>4$$

2) $$x^2-6<0$$, тогда $$|x^2-6|=6-x^2$$ и

$$6-x^2>x+6$$

$$-x^2-x>0$$

$$x^2+x<0$$

$$x(x+1)<0$$

$$-1<x<0$$

Объединяя полученные промежутки, получаем:

$$x\in(-\infty;-3)\cup(-1;0)\cup(4;+\infty)$$

4. Рассмотрим неравенство

$$ax^2+5ax+4a+3<0$$

Чтобы оно не имело решений, квадратный трёхчлен должен быть неотрицателен при всех $$x$$. Для этого достаточно, чтобы его дискриминант был неположительным:

$$D=(5a)^2-4a(4a+3)\le 0$$

$$25a^2-16a^2-12a\le 0$$

$$9a^2-12a\le 0$$

$$3a(3a-4)\le 0$$

Отсюда

$$a\in\left[0;\frac{4}{3}\right]$$