Вариант 2 Самостоятельная работа 7 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Квадратичная функция, её график и свойства
1. Постройте график функции f(x)=x^2+6x+8. Используя график, найдите:
1) область значений функции;
2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;
3) множество решений неравенства: a) f(x) > 0; б) f(x)?0;
4) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: а) [-4; 0]; б) [1; 3].
2. Изобразите схематически график квадратичной функции y=ax^2+bx+c, если a < 0, c > 0, -b/(2a) > 0.
3. При каких значениях параметраa произведение корней уравнения x^2-2ax+a^2-2a+4=0 принимает наименьшее значение?

1) Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2+6x+8.$$

Найдём координаты вершины параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\cdot 1}=-3,$$

$$y_0=f(-3)=(-3)^2+6\cdot(-3)+8=9-18+8=-1.$$

Значит, вершина параболы — точка $$(-3;\,-1),$$ ветви направлены вверх.

Тогда:

1) область значений функции: $$E(y)=[-1;\,+\infty);$$

2) функция убывает на $$(-\infty;\,-3]$$ и возрастает на $$[-3;\,+\infty);$$

3) решим неравенства. Разложим функцию на множители:

$$x^2+6x+8=(x+2)(x+4).$$

Тогда

$$f(x)>0 \iff x\in(-\infty;\,-4)\cup(-2;\,+\infty),$$

$$f(x)\le 0 \iff x\in[-4;\,-2].$$

4) Найдём значения функции на заданных промежутках.

а) На отрезке $$[-4;\,0]$$:

$$f(-4)=0,\quad f(-3)=-1,\quad f(0)=8.$$

Следовательно, $$y_{\min}=-1,\quad y_{\max}=8.$$

б) На отрезке $$[1;\,3]$$:

$$f(1)=15,\quad f(2)=24,\quad f(3)=35.$$

Следовательно, $$y_{\min}=15,\quad y_{\max}=35.$$

2) Для функции $$y=ax^2+bx+c$$ при $$a<0$$ ветви параболы направлены вниз. При $$c>0$$ график пересекает ось $$Oy$$ выше оси $$Ox$$. Условие $$-\frac{b}{2a}>0$$ означает, что абсцисса вершины положительна, то есть вершина расположена правее оси $$Oy$$.

3) Произведение корней уравнения

$$x^2-2ax+a^2-2a+4=0$$

по теореме Виета равно

$$x_1x_2=a^2-2a+4=(a-1)^2+3.$$

Минимум этого выражения достигается при $$a=1$$ и равен $$3.$$

Ответ

1) $$E(y)=[-1;\,+\infty),$$ функция убывает на $$(-\infty;\,-3]$$, возрастает на $$[-3;\,+\infty);$$ $$f(x)>0$$ при $$x\in(-\infty;\,-4)\cup(-2;\,+\infty),$$ $$f(x)\le 0$$ при $$x\in[-4;\,-2];$$ на $$[-4;\,0]$$: $$y_{\min}=-1,$$ $$y_{\max}=8;$$ на $$[1;\,3]$$: $$y_{\min}=15,$$ $$y_{\max}=35.$$

2) Ветви вниз, вершина правее оси $$Oy$$, пересечение с осью $$Oy$$ выше оси $$Ox$$.

3) $$a=1.$$