Вариант 2 Самостоятельная работа 6 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Построение графиков функций y=f(|x|) и y=|f(x)|
1. Постройте график функции:
1) y=|vx-4|; 3) y=v|x-4|;
2) y=v(|x|-4); 4) y=v(|x-4|-4).
2. Функция f такова, что D(f)=[-6; 2) и E(f)=[-5; 3). Найдите область определения и область значений функции |f(|x|)|.
3. При каких значениях параметра a уравнение |3|x|-1|=a-x имеет три корня?

Подробный ответ

1) $$y=\left|\sqrt{x}-4\right|.$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
График получается из графика $$y=\sqrt{x}$$ отражением части, лежащей ниже прямой $$y=4,$$ относительно этой прямой. Удобно отметить точки:
$$x=0 \Rightarrow y=4,$$
$$x=16 \Rightarrow y=0.$$
Значит, график проходит через точки $$\left(0;4\right)$$ и $$\left(16;0\right).$$
2) $$y=\sqrt{|x|-4}.$$
Подкоренное выражение неотрицательно:
$$|x|-4\ge 0 \Rightarrow |x|\ge 4 \Rightarrow x\le -4 \text{ или } x\ge 4.$$
График симметричен относительно оси $$Oy.$$ Он состоит из двух ветвей, начинающихся в точках $$(-4;0)$$ и $$ (4;0).$$
3) $$y=\sqrt{|x-4|}.$$
Это график функции $$y=\sqrt{|x|}$$, сдвинутый вправо на 4 единицы. Минимум достигается при $$x=4,$$ где $$y=0.$$
4) $$y=\sqrt{|x-4|}-4.$$
График функции из пункта 3 сдвигается вниз на 4 единицы. Минимум: $$y_{\min}=-4$$ при $$x=4.$$
Так как $$D(f)=[-6;2),$$ то для функции $$f(|x|)$$ нужно, чтобы
$$|x|\in [-6;2).$$
Поскольку $$|x|\ge 0,$$ получаем
$$0\le |x|<2 \Rightarrow -2<x<2.$$
Значит,
$$D\bigl(f(|x|)\bigr)=(-2;2).$$
Теперь найдём область значений. Так как $$|x|\in [0;2),$$ а значения функции $$f$$ на этом промежутке лежат в области значений $$E(f)=[-5;3),$$ то после взятия модуля получаем
$$E\bigl(|f(|x|)|\bigr)=[0;5].$$
Рассмотрим уравнение
$$|3|x|-1|=a-x.$$
Левая часть — чётная функция, поэтому удобно рассмотреть график и число точек пересечения с прямой $$y=a-x.$$
Чтобы было ровно три корня, прямая должна проходить через вершины графика левой части. Это происходит при
$$a=\frac13 \quad \text{и} \quad a=1.$$