Вариант 2 Контрольная работа 4 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств
1. Изобразите график неравенства:
1) y-3x?6; 2) x^2+(y+1)^2?9.
2. Изобразите на координатной плоскости ху множество решений системы неравенств {|y| < 2, x > 3}.
3. Задайте системой неравенств фигуру, изображённую на рисунке 10.
4. Докажите неравенство x^4+4y^2+9?-2x^2 y+3x^2-6y.
5. Известно, что a > 0, b > 0 и 3a+5b=30. Найдите наибольшее значение выражения ab.
6. При каких значениях параметра a система неравенств {x^2+4x-a+5?0, a-x?5} имеет решение?
7. Докажите неравенство v(1-3x)+v(6+2x)+v(5+x)?6.

1. 1) $$y-3x\ge 6 \iff y\ge 3x+6.$$

   Граница — прямая $$y=3x+6$$, она входит в множество решений. Закрашиваем полуплоскость выше этой прямой.

   2) $$x^2+(y+1)^2\le 9.$$

   Это круг с центром $$(-1)$$ по оси $$y$$, то есть $$O(0,-1)$$, и радиусом $$R=3$$. Закрашиваем внутренность круга вместе с границей.

2. Система

   $$ \begin{cases} |y|<2,\\ x>3 \end{cases} $$

   равносильна системе

   $$ \begin{cases} -2<y<2,\\ x>3. \end{cases} $$

   Это пересечение полосы между прямыми $$y=-2$$ и $$y=2$$ с полуплоскостью справа от прямой $$x=3$$. Границы не входят.

3. По рисунку фигура ограничена параболой с вершиной в начале координат и прямой $$y=-1$$. Поэтому система неравенств:

   $$ \begin{cases} y\le x^2,\\ y\ge -1. \end{cases} $$

4. Преобразуем левую часть:

   $$ \begin{aligned} x^4+4y^2+9+2x^2y-3x^2+6y &=x^4-6x^2+9+2x^2y+4y^2+6y+4x^2y \\ &=(x^2-3)^2+(x^2+2y)^2+(2y+3)^2\ge 0. \end{aligned} $$

   Следовательно,

   $$x^4+4y^2+9\ge -2x^2y+3x^2-6y.$$

5. По неравенству между средним арифметическим и средним геометрическим:

   $$ 3a+5b\ge 2\sqrt{3a\cdot 5b}=2\sqrt{15ab}. $$

   Так как $$3a+5b=30$$, то

   $$ 30\ge 2\sqrt{15ab},\qquad \sqrt{15ab}\le 15, $$

   откуда

   $$15ab\le 225,\qquad ab\le 15.$$

   Равенство достигается при $$3a=5b$$. Тогда из $$3a+5b=30$$ получаем $$a=5$$, $$b=3$$, и $$ab=15$$.

6. Рассмотрим систему

   $$ \begin{cases} x^2+4x-a+5\le 0,\\ a-x\le 5. \end{cases} $$

   Из второго неравенства:

   $$x\ge a-5.$$

   Первое неравенство имеет решения, если

   $$ D=4^2-4(5-a)=16-20+4a=4(a-1)\ge 0, $$

   то есть $$a\ge 1$$.

   Корни уравнения $$x^2+4x-a+5=0$$:

   $$ x_{1,2}=-2\pm \sqrt{a-1}. $$

   Чтобы пересечение с условием $$x\ge a-5$$ было непустым, достаточно, чтобы правая граница промежутка решений не была меньше $$a-5$$:

   $$ -2+\sqrt{a-1}\ge a-5. $$

   Тогда

   $$ \sqrt{a-1}\ge a-3. $$

   При $$a\ge 1$$ получаем

   $$ a-1\ge (a-3)^2, $$

   $$ a^2-7a+10\le 0, $$

   $$ (a-2)(a-5)\le 0. $$

   С учётом $$a\ge 1$$ имеем

   $$1\le a\le 5.$$

7. Обозначим

   $$S=\sqrt{1-3x}+\sqrt{6+2x}+\sqrt{6+x}.$$

   По неравенству Коши:

   $$ S^2\le (1-3x+6+2x+6+x)(1+1+1)=36. $$

   Значит,

   $$S\le 6.$$

Ответ

1. $$y\ge 3x+6$$; $$x^2+(y+1)^2\le 9$$.
2. $$\begin{cases}-2<y<2,\\ x>3.\end{cases}$$
3. $$\begin{cases}y\le x^2,\\ y\ge -1.\end{cases}$$
4. Неравенство верно.
5. $$15$$.
6. $$1\le a\le 5.$$
7. $$\sqrt{1-3x}+\sqrt{6+2x}+\sqrt{6+x}\le 6.$$