Вариант 2 Самостоятельная работа 5 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Построение графиков функций y=f(x)+b и y=f(x+a)
1. Каковы координаты вершины параболы:
1) y=x^2-10;
2) y=(x-9)^2;
3) y=(x+14)^2-13?
2. Постройте график функции y=vx. Используя этот график, постройте график функции:
1) y=vx+2; 2) y=2+v(x-1).
3. Постройте график функции y=3x/(x+4).
4. Сколько корней имеет уравнение |x-3|=a-x^2 в зависимости от значения параметра a?

1. Для параболы вида $$y=(x-h)^2+k$$ вершина имеет координаты $$\left(h;\,k\right)$$.

   1) $$y=x^2-10$$, значит вершина: $$\left(0;\,-10\right).$$

   2) $$y=(x-9)^2$$, значит вершина: $$\left(9;\,0\right).$$

   3) $$y=(x+14)^2-13$$, значит вершина: $$\left(-14;\,-13\right).$$

2. График функции $$y=\sqrt{x}$$ сдвигаем:

   1) на 2 единицы вверх: $$y=\sqrt{x}+2$$;

   2) на 1 единицу вправо и на 2 единицы вверх: $$y=2+\sqrt{x-1}.$$

3. Преобразуем функцию:

   $$ y=\frac{3x}{x+4}=\frac{3x+12-12}{x+4}=3-\frac{12}{x+4}. $$

   Это гипербола с асимптотами $$x=-4$$ и $$y=3.$$

4. Рассмотрим уравнение

   $$ |x-3|=a-x^2. $$

   Если $$x\le 3$$, то $$|x-3|=3-x$$, и получаем

   $$ 3-x=a-x^2 \\ x^2-x+(3-a)=0. $$

   Для существования корней нужно, чтобы дискриминант был неотрицателен:

   $$ D=1-4(3-a)=4a-11. $$

   $$ 4a-11\ge 0 \\ a\ge \frac{11}{4}. $$

   При $$a=\frac{11}{4}$$ уравнение имеет один корень, при $$a>\frac{11}{4}$$ — два корня, при $$a<\frac{11}{4}$$ корней нет.

Ответ

1) $$\left(0;\,-10\right),\ \left(9;\,0\right),\ \left(-14;\,-13\right).$$
2) Графики получаются сдвигом графика $$y=\sqrt{x}$$: вверх на 2; вправо на 1 и вверх на 2.
3) $$y=3-\dfrac{12}{x+4},\ x\ne -4.$$
4) При $$a<\dfrac{11}{4}$$ корней нет; при $$a=\dfrac{11}{4}$$ один корень; при $$a>\dfrac{11}{4}$$ два корня.