Вариант 2 Самостоятельная работа 35 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Суммирование
1. Найдите сумму 3/4+31/16+191/64+…+(4^n·4-1)/4^n.
2. Найдите сумму (3-1/3)^2+(3^2-1/3^2)^2+(3^3-1/3^3)^2+…+(3^n-1/3^n)^2.
3. Найдите сумму 1/(2·5)+1/(5·8)+1/(8·11)+…+1/((3n-1)·(3n+2)).

Подробный ответ

Решение

Преобразуем общий член:
$$\frac{4^k\cdot k-1}{4^k}=k-\frac{1}{4^k}.$$
Тогда
$$ \frac34+\frac{3\cdot 1}{16}+\frac{4\cdot 2-1}{64}+\cdots+\frac{4^n\cdot n-1}{4^n} = \left(1-\frac14\right)+\left(2-\frac1{4^2}\right)+\cdots+\left(n-\frac1{4^n}\right). $$
Сумма равна
$$ (1+2+\cdots+n)-\left(\frac14+\frac1{4^2}+\cdots+\frac1{4^n}\right). $$
$$ 1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}, $$
а
$$ \frac14+\frac1{4^2}+\cdots+\frac1{4^n} = \frac{\frac14\left(1-\left(\frac14\right)^n\right)}{1-\frac14} = \frac13\left(1-\frac1{4^n}\right). $$
$$ S=\frac{n(n+1)}{2}-\frac13\left(1-\frac1{4^n}\right) =\frac{n(n+1)}{2}-\frac13+\frac{1}{3\cdot 4^n}. $$
Раскроем скобки:
$$ \left(3^k-\frac1{3^k}\right)^2=3^{2k}-2+\frac1{3^{2k}}. $$
Тогда
$$ \sum_{k=1}^n\left(3^k-\frac1{3^k}\right)^2 = \sum_{k=1}^n 3^{2k}-2n+\sum_{k=1}^n \frac1{3^{2k}}. $$
$$ \sum_{k=1}^n 3^{2k}=9+9^2+\cdots+9^n=\frac{9(9^n-1)}{8}, $$
$$ \sum_{k=1}^n \frac1{3^{2k}}=\frac19+\frac1{9^2}+\cdots+\frac1{9^n} = \frac{\frac19\left(1-\left(\frac19\right)^n\right)}{1-\frac19} = \frac18\left(1-\frac1{9^n}\right). $$
$$ S=\frac{9(9^n-1)}{8}-2n+\frac18\left(1-\frac1{9^n}\right) =\frac{9^{n+1}}{8}-\frac{1}{8\cdot 9^n}-2n-1. $$
Разложим каждый член на простые дроби:
$$ \frac1{(3k-1)(3k+2)}=\frac13\left(\frac1{3k-1}-\frac1{3k+2}\right). $$
Тогда сумма телескопическая:
$$ \sum_{k=1}^n \frac1{(3k-1)(3k+2)} = \frac13\left(\frac12-\frac15+\frac15-\frac18+\cdots+\frac1{3n-1}-\frac1{3n+2}\right). $$
После сокращения получаем
$$ S=\frac13\left(\frac12-\frac1{3n+2}\right) =\frac16-\frac1{3(3n+2)}. $$