Вариант 2 Самостоятельная работа 34 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы
1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:
1) 100; -20; 4; … ; 2) 20, 4v5, 4, … .
2. Запишите в виде обыкновенной дроби число:
1) 0,888… ; 2) 5,1(26).
3. В бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q, где |q| < 1, сумма членов с нечётными номерами равна -32, а сумма членов с чётными номерами равна 8. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

1. Найдём сумму бесконечной геометрической прогрессии.

   1) $$100;\,-20;\,4;\,\ldots$$

   $$b_1=100,\quad q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-20}{100}=-\frac15$$

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{100}{1-(-\frac15)}=\frac{100}{1+\frac15}=\frac{100}{\frac65}=\frac{500}{6}=83\frac13$$

   2) $$20;\,4\sqrt5;\,4;\,\ldots$$

   $$b_1=20,\quad q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{4\sqrt5}{20}=\frac{\sqrt5}{5}$$

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{20}{1-\frac{\sqrt5}{5}}=\frac{100}{5-\sqrt5}$$

   $$S=\frac{100(5+\sqrt5)}{(5-\sqrt5)(5+\sqrt5)}=\frac{100(5+\sqrt5)}{25-5}=5(5+\sqrt5)$$

2. Запишем в виде обыкновенной дроби число.

   1) $$0{,}888\ldots = 0{,}8+0{,}08+0{,}008+\ldots$$

   Это бесконечная геометрическая прогрессия, где

   $$b_1=0{,}8,\quad q=0{,}1$$

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{0{,}8}{1-0{,}1}=\frac{0{,}8}{0{,}9}=\frac89$$

   2) $$5{,}1(26)=5{,}1+0{,}026+0{,}00026+\ldots$$

   Здесь

   $$b_1=0{,}026,\quad q=0{,}01$$

   Тогда

   $$S=5{,}1+\frac{0{,}026}{1-0{,}01}= \frac{51}{10}+\frac{26}{1000}\cdot\frac{1}{\frac{99}{100}}$$

   $$S=\frac{51}{10}+\frac{26}{990}=\frac{51}{10}+\frac{13}{495}=\frac{1015}{198}$$

3. Пусть сумма членов с нечётными номерами равна $$S_{\text{неч}}=-32$$, а сумма членов с чётными номерами равна $$S_{\text{чет}}=8$$.

   Для геометрической прогрессии

   $$S_{\text{чет}}=S_{\text{неч}}\cdot q$$

   Тогда

   $$8=-32q,\quad q=-\frac14$$

   Сумма всех членов прогрессии:

   $$S=S_{\text{неч}}+S_{\text{чет}}=-32+8=-24$$

   Но также

   $$S=\frac{b_1}{1-q}$$

   Подставим $$q=-\frac14$$:

   $$-24=\frac{b_1}{1+\frac14}=\frac{b_1}{\frac54}$$

   $$b_1=-24\cdot\frac54=-30$$

Ответ

1) $$83\frac13;\quad 5(5+\sqrt5).$$

2) $$\frac89;\quad \frac{1015}{198}.$$

3) $$b_1=-30,\quad q=-\frac14.$$