Вариант 2 Самостоятельная работа 33 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Сумма n первых членов геометрической прогрессии
1. Геометрическая прогрессия (b_n) задана формулой n-го члена b_n=18·3^(n-3). Найдите сумму восьми первых членов прогрессии.
2. Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна 2 912. Найдите n, если первый член прогрессии равен 8, а знаменатель прогрессии равен 3.
3. Для любого натурального n сумму n первых членов некоторой последовательности можно вычислить по формуле S_n=6(2^n-1). Докажите, что данная последовательность является геометрической прогрессией.

1. Дана геометрическая прогрессия $$b_n=18\cdot 3^{n-3}.$$

   Найдём первые члены:

   $$b_1=18\cdot 3^{-2}=18\cdot \frac{1}{9}=2,$$

   $$b_2=18\cdot 3^{-1}=18\cdot \frac{1}{3}=6.$$

   Знаменатель прогрессии:

   $$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{6}{2}=3.$$

   Сумма первых восьми членов:

   $$S_8=\frac{b_1(q^8-1)}{q-1}=\frac{2(3^8-1)}{3-1}.$$

   $$S_8=\frac{2(6561-1)}{2}=6560.$$

2. Дано: $$b_1=8,\quad q=3,\quad S_n=2912.$$

   Используем формулу суммы первых $$n$$ членов геометрической прогрессии:

   $$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}.$$

   Подставим данные:

   $$2912=\frac{8(3^n-1)}{3-1}.$$

   $$2912=4(3^n-1),$$

   $$3^n-1=728,$$

   $$3^n=729,$$

   $$3^n=3^6,$$

   значит, $$n=6.$$

3. Дано:

   $$S_n=6(2^n-1).$$

   Найдём первые члены последовательности:

   $$b_1=S_1=6(2-1)=6,$$

   $$S_2=6(4-1)=18,$$

   $$b_2=S_2-S_1=18-6=12.$$

   Тогда

   $$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{12}{6}=2.$$

   Проверим формулу суммы геометрической прогрессии:

   $$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}=\frac{6(2^n-1)}{2-1}=6(2^n-1).$$

   Получили данную в условии формулу, значит, последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ

1) $$6560$$; 2) $$6$$; 3) последовательность является геометрической прогрессией, $$q=2$$.