Вариант 2 Самостоятельная работа 32 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Геометрическая прогрессия
1. Между числами 625 и 16 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию. Запишите полученную прогрессию.
2. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии (b_n), если b_8=25b_6 и b_4+b_7=-375.
3. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 30. Если первое число оставить без изменений, а из второго и третьего чисел вычесть соответственно 4 и 5, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.
- Пусть искомая геометрическая прогрессия имеет вид $$625,\ b_2,\ b_3,\ b_4,\ 16.$$ Тогда
$$b_5=b_1q^4=16,$$
то есть
$$625q^4=16,$$
откуда
$$q^4=\frac{16}{625}, \quad q=\pm\frac{2}{5}.$$
Найдём вставленные числа:
$$b_2=625q,\quad b_3=625q^2,\quad b_4=625q^3.$$
При $$q=\frac{2}{5}$$ получаем
$$b_2=250,\quad b_3=100,\quad b_4=40.$$
При $$q=-\frac{2}{5}$$ получаем
$$b_2=-250,\quad b_3=100,\quad b_4=-40.$$
Значит, возможны две прогрессии:
$$625,\ 250,\ 100,\ 40,\ 16$$
и
$$625,\ -250,\ 100,\ -40,\ 16.$$ - Из условия
$$b_8=25b_6,$$
а для геометрической прогрессии
$$b_8=b_1q^7,\quad b_6=b_1q^5.$$
Тогда
$$b_1q^7=25b_1q^5,$$
$$q^2=25,\quad q=\pm 5.$$Также
$$b_4+b_7=-375,$$
то есть
$$b_1q^3+b_1q^6=-375.$$Если $$q=5,$$ то
$$125b_1+15625b_1=-375,$$
$$15750b_1=-375,$$
$$b_1=-\frac{1}{42}.$$Если $$q=-5,$$ то
$$-125b_1+15625b_1=-375,$$
$$15500b_1=-375,$$
$$b_1=-\frac{3}{124}.$$ - Пусть числа арифметической прогрессии равны $$10-d,\ 10,\ 10+d,$$ так как их сумма равна 30:
$$a_1+a_2+a_3=30,\quad 3a_2=30,\quad a_2=10.$$После изменений получаем числа
$$10-d,\ 6,\ 5+d.$$
Они образуют геометрическую прогрессию, значит
$$6^2=(10-d)(5+d).$$
Тогда
$$36=50+5d-10d-d^2,$$
$$d^2-5d-14=0.$$Решаем уравнение:
$$D=25+56=81,$$
$$d=\frac{5\pm 9}{2}.$$
Отсюда
$$d=7 \quad \text{или} \quad d=-2.$$При $$d=7$$ получаем числа
$$3,\ 10,\ 17.$$При $$d=-2$$ получаем числа
$$12,\ 10,\ 8.$$
Ответ
1) $$625,\ 250,\ 100,\ 40,\ 16$$ или $$625,\ -250,\ 100,\ -40,\ 16$$; 2) $$b_1=-\frac{1}{42},\ q=5$$ или $$b_1=-\frac{3}{124},\ q=-5$$; 3) $$12,\ 10,\ 8$$ или $$3,\ 10,\ 17$$.
