Вариант 2 Самостоятельная работа 31 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Сумма n первых членов арифметической прогрессии
1. Арифметическая прогрессия (a_n) задана формулой n-го члена: a_n=-2n+1. Найдите сумму тридцати восьми первых членов прогрессии.
2. Для любого натурального значения n сумму n первых членов некоторой арифметической прогрессии можно вычислить по формуле S_n=3n^2+7n. Найдите первый член и разность этой прогрессии.
3. Семнадцатый член арифметической прогрессии равен 14. Найдите сумму тридцати трёх первых членов прогрессии.

1. Найдём первый и тридцать восьмой члены прогрессии:

   $$a_1=-2\cdot 1+1=-1,$$

   $$a_{38}=-2\cdot 38+1=-75.$$

   Тогда сумма первых 38 членов равна:

   $$S_{38}=\frac{a_1+a_{38}}{2}\cdot 38=\frac{-1+(-75)}{2}\cdot 38=-38\cdot 19=-1444.$$

2. По формуле суммы:

   $$S_n=3n^2+7n.$$

   Найдём первые суммы:

   $$S_1=3\cdot 1^2+7\cdot 1=10,$$

   $$S_2=3\cdot 2^2+7\cdot 2=12+14=26.$$

   Тогда

   $$a_1=S_1=10,$$

   $$a_2=S_2-S_1=26-10=16,$$

   $$d=a_2-a_1=16-10=6.$$

3. Из условия:

   $$a_{17}=a_1+16d=14.$$

   Найдём сумму 33 первых членов:

   $$S_{33}=\frac{a_1+a_{33}}{2}\cdot 33.$$

   Так как

   $$a_{33}=a_1+32d,$$

   то

   $$S_{33}=\frac{a_1+a_1+32d}{2}\cdot 33=(a_1+16d)\cdot 33.$$

   Но $$a_1+16d=14,$$ значит

   $$S_{33}=14\cdot 33=462.$$

Ответ

1) $$-1444$$; 2) $$a_1=10,\ d=6$$; 3) $$462$$.