Вариант 2 Самостоятельная работа 30 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Арифметическая прогрессия
1. Найдите первый положительный член арифметической прогрессии -3,6; -3,3; -3; … .
2. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (a_n), если a_5+a_13=38 и a_4+a_8=29.
3. При каком значении b значения выражений 3b+1, 4b-1, b^2+b и b^2+b+1 будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите эти члены прогрессии.
Для арифметической прогрессии $$-3{,}6;\,-3{,}3;\,-3;\ldots$$ имеем
$$a_1=-3{,}6,\quad d=-3{,}3-(-3{,}6)=0{,}3.$$
Общий член:
$$a_n=a_1+d(n-1)=-3{,}6+0{,}3(n-1).$$
Найдём первый положительный член:
$$-3{,}6+0{,}3(n-1)>0$$
$$0{,}3n-3{,}9>0$$
$$0{,}3n>3{,}9$$
$$n>13.$$
Наименьшее целое $$n=14$$.
Из условий:
$$a_5+a_{13}=38,\quad a_4+a_8=29.$$
Подставим формулу $$a_n=a_1+d(n-1)$$:
$$a_1+4d+a_1+12d=38,$$
$$2a_1+16d=38,$$
$$a_1+8d=19.$$
Аналогично:
$$a_1+3d+a_1+7d=29,$$
$$2a_1+10d=29.$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$6d=9,\quad d=1{,}5.$$
Тогда
$$a_1=19-8\cdot 1{,}5=7.$$
Пусть числа $$3b+1,\;4b-1,\;b^2+b,\;b^2+b+1$$ — последовательные члены арифметической прогрессии.
Тогда средний член равен среднему арифметическому соседних:
$$4b-1=\frac{(3b+1)+(b^2+b)}{2},$$
$$8b-2=b^2+4b+1,$$
$$b^2-4b+3=0,$$
$$\left(b-1\right)\left(b-3\right)=0,$$
$$b=1 \text{ или } b=3.$$
Проверим второе равенство:
$$b^2+b=\frac{(4b-1)+(b^2+b+1)}{2},$$
$$2b^2+2b=b^2+5b,$$
$$b^2-3b=0,$$
$$b(b-3)=0,$$
$$b=0 \text{ или } b=3.$$
Общее значение: $$b=3.$$ Тогда члены прогрессии:
$$3b+1=10,\quad 4b-1=11,\quad b^2+b=12,\quad b^2+b+1=13.$$
Ответ
1) $$14$$.
2) $$a_1=7,\ d=1{,}5.$$
3) $$b=3,$$ члены прогрессии: $$10,\ 11,\ 12,\ 13.$$
