Вариант 2 Самостоятельная работа 3 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Чётные и нечётные функции
1. Функция f чётная. Может ли выполняться равенство f(6)·f(-6)=-1?
2. Исследуйте на чётность функцию:
1) y=(x^6+2x^5)/(x+2);
2) y=x^4+x;
3) y=v(7-x)+v(7+x).
3. Известно, что min([-6; -3], f(x))=1, max([-6; -3), f(x))=4. Найдите min([3; 6], f(x)) и max([3; 6], f(x)), если:
1) f — чётная функция; 2) f — нечётная функция.
4. При каких значениях параметра a уравнение x^4-ax^2+a^2-a-2=0 имеет три корня?

Подробный ответ

Так как функция чётная, то $$f(-6)=f(6).$$ Тогда
$$f(6)\cdot f(-6)=f(6)\cdot f(6)=(f(6))^2.$$
Но квадрат числа не может быть равен $$-1$$. Значит, такое равенство невозможно.
Исследуем функции на чётность.
1) $$y=\frac{x^6+2x^5}{x+2}, \quad x\ne -2.$$
Область определения не симметрична относительно нуля, значит функция не может быть чётной или нечётной. Функция общего вида.
2) $$y=x^4+x, \quad x\in \mathbb{R}.$$
Найдём $$y(-x):$$
$$y(-x)=(-x)^4+(-x)=x^4-x.$$
Это не равно ни $$y(x)=x^4+x,$$ ни $$-y(x)=-x^4-x.$$ Следовательно, функция общего вида.
3) $$y=\sqrt{7-x}+\sqrt{7+x}.$$
Область определения: $$7-x\ge 0,\; 7+x\ge 0,$$ то есть $$-7\le x\le 7.$$
Проверим:
$$y(-x)=\sqrt{7-(-x)}+\sqrt{7+(-x)}=\sqrt{7+x}+\sqrt{7-x}=y(x).$$
Значит, функция чётная.
Известно, что на отрезке $$[-6;-3]$$
$$\min f(x)=1,\qquad \max f(x)=4.$$
1) Если $$f$$ — чётная функция, то значения на отрезке $$[3;6]$$ такие же:
$$\min_{[3;6]} f(x)=1,\qquad \max_{[3;6]} f(x)=4.$$
2) Если $$f$$ — нечётная функция, то значения на симметричном отрезке меняют знак:
$$\min_{[3;6]} f(x)=-4,\qquad \max_{[3;6]} f(x)=-1.$$
Рассмотрим уравнение
$$x^4-ax^2+a^2-a-2=0.$$
Положим $$t=x^2,\; t\ge 0.$$ Тогда
$$t^2-at+a^2-a-2=0.$$
Чтобы исходное уравнение имело три корня, квадратное уравнение по $$t$$ должно иметь два различных неотрицательных корня, один из которых равен нулю, а другой — положителен. Значит, один из корней по $$t$$ должен быть $$0$$:
$$a^2-a-2=0.$$
Решаем:
$$a^2-a-2=(a+1)(a-2)=0,$$
откуда $$a=-1$$ или $$a=2.$$
Проверим:
при $$a=-1$$:
$$x^4+x^2=0 \Rightarrow x^2(x^2+1)=0 \Rightarrow x=0;$$
получается один корень, не подходит.
при $$a=2$$:
$$x^4-2x^2=0 \Rightarrow x^2(x^2-2)=0 \Rightarrow x=0,\; x=\pm\sqrt{2}.$$
Получаем три корня.