Вариант 2 Самостоятельная работа 29 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Числовые последовательности
1. Найдите три первых члена последовательности (a_n), если a_1=2, a_(n+1)=2a_n-3.
2. Последовательность (y_n) задана формулой n-го члена y_n=3-5n. Является ли членом этой последовательности число: 1) 23; 2) -247? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.
3. Последовательность (a_n) задана формулой n-го члена a_n=-n^2+5n-5. Найдите количество членов этой последовательности, которые больше числа -19.
4. Найдите все такие значения а, при которых последовательность, заданная условиями x_1=a, x_(n+1)=x_n^2-6x_n+6, является стационарной.

1. Вычислим первые члены последовательности:

   $$a_1=2$$

   $$a_2=2a_1-3=2\cdot 2-3=1$$

   $$a_3=2a_2-3=2\cdot 1-3=-1$$

2. Проверим, является ли число членом последовательности $$y_n=3-5n$$.

   1) Для числа $$23$$:

   $$3-5n=23$$

   $$-5n=20$$

   $$n=-4$$

   Так как номер члена последовательности должен быть натуральным, число $$23$$ не является членом этой последовательности.

   2) Для числа $$-247$$:

   $$3-5n=-247$$

   $$-5n=-250$$

   $$n=50$$

   Это натуральное число, значит, $$-247$$ является членом последовательности, причём $$50$$-м.

3. Найдём, при каких $$n$$ выполняется неравенство:

   $$a_n=-n^2+5n-5>-19$$

   $$-n^2+5n+14>0$$

   $$n^2-5n-14<0$$

   $$D=25+56=81$$

   $$n_{1,2}=\frac{5\pm 9}{2}$$

   $$n_1=-2,\quad n_2=7$$

   Тогда

   $$-2<n<7$$

   Подходят натуральные значения $$n=1,2,3,4,5,6$$. Всего 6 членов.

4. Последовательность стационарна, если $$x_n=a$$ для всех $$n$$. Тогда

   $$a=a^2-6a+6$$

   $$a^2-7a+6=0$$

   $$D=49-24=25$$

   $$a_{1,2}=\frac{7\pm 5}{2}$$

   $$a_1=1,\quad a_2=6$$

Ответ

1) $$2; 1; -1$$

2) $$23$$ — нет; $$-247$$ — да, $$50$$-й член

3) $$6$$

4) $$1; 6$$