Вариант 2 Контрольная работа 3 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Уравнении с двумя переменными и их системы
1. Решите уравнение x^2-6x+y^2+10y+34=0.
2. Постройте график уравнения |y+x^2|=|x^2-4|.
3. Решите систему уравнений:
1) {2x-y=4, 2xy-y^2=-8};
2) {3xy+2=y^3 /x, 2xy+1=x^3 /y};
3) 3x^2-2xy-y^2=4, x^2+3xy+3y^2=1}.
4. При каких значениях параметра a система уравнений {x^2+(y-a)^2=9, y+3|x|-2=0} имеет единственное решение?
$$x^2-6x+y^2+10y+34=0$$
Дополнем до квадратов:
$$\left(x^2-6x+9\right)+\left(y^2+10y+25\right)=0$$
$$\left(x-3\right)^2+\left(y+5\right)^2=0$$
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$x-3=0,\quad y+5=0$$
$$x=3,\quad y=-5$$
$$|y+x^2|=|x^2-4|$$
Рассмотрим два случая:
1) $$y+x^2=x^2-4$$, тогда
$$y=-4$$
2) $$y+x^2=-(x^2-4)$$, тогда
$$y=4-2x^2$$
Значит, график состоит из прямой $$y=-4$$ и параболы $$y=4-2x^2$$.
1) $$\begin{cases}2x-y=4,\\2xy-y^2=-8.\end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$y=2x-4$$
Подставим во второе:
$$2x(2x-4)-(2x-4)^2=-8$$
$$4x^2-8x-4x^2+16x-16=-8$$
$$8x=8,\quad x=1$$
$$y=2\cdot1-4=-2$$
$$\left(1;\,-2\right)$$
2) $$\begin{cases}3xy+2=\dfrac{y^3}{x},\\2xy+1=\dfrac{x^3}{y}.\end{cases}$$
Умножим уравнения на $$x$$ и $$y$$ соответственно:
$$\begin{cases}3x^2y+2x=y^3,\\2xy^2+y=x^3.\end{cases}$$
Перемножим исходные уравнения:
$$\left(3xy+2\right)\left(2xy+1\right)=x^2y^2$$
$$6x^2y^2+7xy+2=x^2y^2$$
$$5x^2y^2+7xy+2=0$$
Обозначим $$t=xy$$. Тогда:
$$5t^2+7t+2=0$$
$$D=7^2-4\cdot5\cdot2=9$$
$$t_1=\frac{-7-3}{10}=-1,\quad t_2=\frac{-7+3}{10}=-\frac25$$
Если $$xy=-1$$, то из первого уравнения:
$$3xy+2=-1$$, значит $$\dfrac{y^3}{x}=-1$$
Подходит пара $$\left(-1;\,1\right)$$ и $$\left(1;\,-1\right)$$.
Если $$xy=-\dfrac25$$, то получаем противоречие, решений нет.
3) $$\begin{cases}3x^2-2xy-y^2=4,\\x^2+3xy+3y^2=1.\end{cases}$$
Умножим второе уравнение на $$4$$:
$$4x^2+12xy+12y^2=4$$
Вычтем первое уравнение из полученного:
$$x^2+14xy+13y^2=0$$
Рассмотрим как квадратное уравнение относительно $$x$$:
$$x=\frac{-14y\pm\sqrt{196y^2-52y^2}}{2}$$
$$x=\frac{-14y\pm12y}{2}$$
$$x=-13y \quad \text{или} \quad x=-y$$
1) Если $$x=-13y$$, то из второго уравнения:
$$169y^2-39y^2+3y^2=1$$
$$133y^2=1,\quad y=\pm\frac1{\sqrt{133}}$$
Тогда
$$x=\mp\frac{13}{\sqrt{133}}$$
2) Если $$x=-y$$, то:
$$y^2-3y^2+3y^2=1$$
$$y^2=1,\quad y=\pm1,\quad x=\mp1$$
4) $$\begin{cases}x^2+(y-a)^2=9,\\y+3|x|-2=0.\end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=2-3|x|$$
Это график, симметричный относительно оси $$Oy$$, с вершиной в точке $$\left(0;\,2\right)$$.
Чтобы система имела единственное решение, окружность радиуса $$3$$ с центром $$\left(0;\,a\right)$$ должна касаться этого графика в одной точке. Это возможно при
$$a-3=2 \quad \text{или} \quad a+3=2$$
$$a=5 \quad \text{или} \quad a=-1$$
Ответ
1) $$\left(3;\,-5\right)$$
2) $$y=-4$$ и $$y=4-2x^2$$
3) $$\left(1;\,-2\right);\ \left(-1;\,1\right),\ \left(1;\,-1\right);$$ $$\left(-1;\,\frac1{\sqrt{133}}\right),\ \left(1;\,-\frac1{\sqrt{133}}\right),\ \left(-\frac{13}{\sqrt{133}};\,-\frac1{\sqrt{133}}\right),\ \left(\frac{13}{\sqrt{133}};\,\frac1{\sqrt{133}}\right)$$
4) $$a=-1,\ 5$$
