Вариант 2 Самостоятельная работа 25 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Сочетания
1. Упростите выражение 12/(n+5)·C(n+6, n+4).
2. Решите в натуральных числах уравнение A(x+1, 2)+C(x+5, x+3)=97.
3. В ремонтной организации работают 15 маляров и 10 штукатуров. Сколькими способами можно составить бригаду из 5 маляров и 3 штукатуров?
4. Есть 16 карандашей разного цвета. Сколькими способами можно составить набор из 5 карандашей, если синий и зелёный карандаши не могут одновременно входить в набор?

1. $$\frac{12}{n+5}\cdot C_{n+6}^{n+4}=\frac{12}{n+5}\cdot \frac{(n+6)!}{(n+4)!\cdot 2!}$$

   $$=\frac{12}{n+5}\cdot \frac{(n+6)(n+5)}{2}=6(n+6).$$

2. $$A_{x+1}^2+C_{x+5}^{x+3}=97$$

   $$\frac{(x+1)!}{(x-1)!}+\frac{(x+5)!}{(x+3)!\cdot 2!}=97$$

   $$x(x+1)+\frac{(x+5)(x+4)}{2}=97.$$

   Умножим на $2$:

   $$2x(x+1)+(x+5)(x+4)=194$$

   $$2x^2+2x+x^2+9x+20=194$$

   $$3x^2+11x-174=0.$$

   $$D=11^2-4\cdot 3\cdot(-174)=2209=47^2.$$

   $$x=\frac{-11\pm 47}{6}.$$

   $$x_1=6,\quad x_2=-\frac{29}{3}.$$

   Так как $x$ — натуральное число, получаем $x=6$.

3. Число способов выбрать 5 маляров из 15 и 3 штукатуров из 10:

   $$N=C_{15}^5\cdot C_{10}^3.$$

   $$N=\frac{15!}{10!\cdot 5!}\cdot \frac{10!}{7!\cdot 3!}=3003\cdot 120=360360.$$

4. Всего наборов из 5 карандашей без ограничений:

   $$C_{16}^5.$$

   Нужно исключить наборы, в которые одновременно входят синий и зелёный карандаши. Тогда остаётся выбрать ещё 3 карандаша из оставшихся 14:

   $$C_{14}^3.$$

   Следовательно,

   $$N=C_{16}^5-C_{14}^3.$$

   $$N=\frac{16!}{11!\cdot 5!}-\frac{14!}{11!\cdot 3!}=4368-364=4004.$$

Ответ

1) $$6(n+6)$$; 2) $$6$$; 3) $$360360$$; 4) $$4004$$.