Вариант 2 Самостоятельная работа 24 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Размещения
1. В девятом классе учится 30 человек. Сколькими способами из них можно выбрать старосту и его заместителя?
2. Решите в натуральных числах уравнение:
1) A(x+5, 2)=182; 2) P(x+6)/(A(x+3, 4)·P(x-1))=336.
3. Сколько четырёхзначных чисел можно записать с помощью цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6 так, чтобы цифры не повторялись и последние две цифры были нечётными?

1. Число способов выбрать старосту и его заместителя равно числу размещений из 30 по 2:
   $$A_{30}^{2}=\frac{30!}{28!}=30\cdot 29=870.$$

2. 1) $$A_{x+5}^{2}=182,$$

   $$\frac{(x+5)!}{(x+3)!}=182,$$
   $$ (x+5)(x+4)=182,$$
   $$x^2+9x+20=182,$$
   $$x^2+9x-162=0.$$

   $$D=9^2-4\cdot 1\cdot(-162)=81+648=729,$$
   $$\sqrt{D}=27.$$

   $$x_{1}=\frac{-9-27}{2}=-18,\qquad x_{2}=\frac{-9+27}{2}=9.$$

   Так как число натуральное, получаем $$x=9.$$

   2) $$\frac{P_{x+6}}{A_{x+3}^{4}\cdot P_{x-1}}=336,$$

   $$\frac{(x+6)!}{(x-1)!}\cdot \frac{(x-1)!}{(x+3)!}=336,$$
   $$\frac{(x+6)!}{(x+3)!}=336,$$
   $$ (x+6)(x+5)(x+4)=336.$$

   Проверим натуральные значения:
   $$x=2 \Rightarrow 8\cdot 7\cdot 6=336.$$

   Значит, $$x=2.$$

3. Последние две цифры должны быть нечётными, значит, их можно выбрать только из чисел $$1,3,5.$$
   Выбираем и расставляем две разные нечётные цифры на последние места:
   $$A_3^2=3\cdot 2.$$
   Первые две цифры выбираем из оставшихся четырёх цифр:
   $$A_4^2=4\cdot 3.$$
   Тогда
   $$N=A_3^2\cdot A_4^2=3\cdot 2\cdot 4\cdot 3=72.$$

Ответ

1) 870; 2) 1) 9, 2) 2; 3) 72.