Вариант 2 Самостоятельная работа 22 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Метод математической индукции
1. Докажите методом математической индукции, что при любом натуральном n выполняется равенство
1+11+21+…+10n-9=n(5n-4).
2. Докажите неравенство 5^n > 4n+3, где n?N, n?2.
3. Докажите, что для любого натурального n значение выражения (24^n+37·5^n) кратно 19.

1. Докажем по индукции равенство $$1+11+21+\dots+10n-9=n(5n-4).$$

   База индукции: при $$n=1$$ имеем

   $$1=1\cdot(5\cdot1-4).$$

   Равенство верно.

   Индукционный переход: пусть при $$n=k$$ верно

   $$1+11+21+\dots+(10k-9)=k(5k-4).$$

   Докажем для $$n=k+1$$:

   $$ 1+11+21+\dots+(10k-9)+(10(k+1)-9) $$
   $$ =k(5k-4)+10k+1 $$
   $$ =5k^2-4k+10k+1 $$
   $$ =5k^2+6k+1 $$
   $$ =(k+1)(5k+1) $$
   $$ =(k+1)\bigl(5(k+1)-4\bigr). $$

   Следовательно, равенство верно при любом натуральном $$n$$.

2. Докажем неравенство $$5^n>4n+3$$ при $$n\ge 2$$.

   База индукции: при $$n=2$$

   $$5^2=25>11=4\cdot2+3.$$

   Индукционный переход: пусть при $$n=k$$ выполняется

   $$5^k>4k+3.$$

   Тогда

   $$ 5^{k+1}=5\cdot5^k>5(4k+3)=20k+15. $$

   Сравним:

   $$20k+15-(4(k+1)+3)=20k+15-(4k+7)=16k+8>0.$$

   Значит,

   $$5^{k+1}>4(k+1)+3.$$

   Неравенство верно для всех $$n\ge 2$$.

3. Докажем, что число $$24^n+37\cdot5^n$$ кратно $$19$$ при любом натуральном $$n$$.

   База индукции: при $$n=1$$

   $$24+37\cdot5=209=19\cdot11.$$

   Значит, выражение кратно $$19$$.

   Индукционный переход: пусть при $$n=k$$ число $$24^k+37\cdot5^k$$ кратно $$19$$, то есть

   $$24^k+37\cdot5^k=19m.$$

   Тогда

   $$ 24^{k+1}+37\cdot5^{k+1} =24\cdot24^k+37\cdot5\cdot5^k $$
   $$ =24(24^k+37\cdot5^k)-19\cdot37\cdot5^k. $$

   Оба слагаемых справа кратны $$19$$, значит, и всё выражение кратно $$19$$.

   Следовательно, $$24^n+37\cdot5^n$$ кратно $$19$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

1) $$1+11+21+\dots+10n-9=n(5n-4)$$; 2) $$5^n>4n+3$$ при $$n\ge 2$$; 3) $$24^n+37\cdot5^n$$ кратно $$19$$.