Вариант 2 Самостоятельная работа 2 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции
1. На рисунке 3 изображён график функции у=f(x), определённой на множестве действительных чисел. Используя график, найдите:
1) нули функции;
2) при каких значениях аргумента значения функции положительные;
3) промежутки возрастания и промежутки убывания функции;
4) min(R, f(x)); max(R, f(x));
5) min([-2; 0], f(x)); max([-2; 0], f(x)).
2. Докажите, что функция f(x)=5/(x+2) убывает на промежутке (-2; +?).
3. Найдите min(D(f), f(x)) и max(D(f), f(x)), если f(x)=4-v(4-x^2).
4. Убывающая функция f определена на множестве R. Возрастающей или убывающей является функция f(g(x)) если g(x)=3x-1?
5. Решите уравнение x^3+4v(2x+11)=11.
По графику получаем:
$$x_1=-2,\quad x_2=4$$
Значит, нули функции: $$x=-2$$ и $$x=4$$.
Функция принимает положительные значения при
$$x<-2 \text{ или } x>4.$$Возрастает на промежутке $$[1;+\infty)$$ и убывает на промежутке $$(-\infty;1].$$
Наименьшее значение на множестве действительных чисел:
$$\min_{\mathbb R} f(x)=-9,$$
наибольшего значения нет.На отрезке $$[-2;0]$$:
$$\min_{[-2;0]} f(x)=-8,\qquad \max_{[-2;0]} f(x)=0.$$Рассмотрим функцию
$$f(x)=\frac{5}{x+2},\quad x\in(-2;+\infty).$$
Если $$x_2>x_1>-2,$$ то
$$x_2+2>x_1+2>0,$$
$$\frac{1}{x_2+2}<\frac{1}{x_1+2},$$
$$\frac{5}{x_2+2}<\frac{5}{x_1+2}.$$Следовательно, функция убывает на промежутке $$(-2;+\infty).$$
$$f(x)=4-\sqrt{4-x^2}.$$
Так как
$$4-x^2\ge 0,$$
$$0\le \sqrt{4-x^2}\le 2,$$то
$$2\le 4-\sqrt{4-x^2}\le 4.$$
Значит,
$$\min_{D(f)} f(x)=2,\qquad \max_{D(f)} f(x)=4.$$Функция $$f$$ убывает на $$\mathbb R$$, а функция
$$g(x)=3x-1$$
возрастает на $$\mathbb R$$.Если $$x_2>x_1,$$ то
$$g(x_2)>g(x_1).$$
Так как $$f$$ убывает, получаем
$$f(g(x_2))<f(g(x_1)).$$Следовательно, функция $$f(g(x))$$ убывает.
Решим уравнение:
$$x^3+4\sqrt{2x+11}=11.$$Перенесём:
$$x^3-11=-4\sqrt{2x+11}.$$Область определения:
$$2x+11\ge 0 \Rightarrow x\ge -\frac{11}{2}.$$Проверим значение $$x=-1$$:
$$(-1)^3+4\sqrt{2\cdot(-1)+11}=-1+4\sqrt{9}=-1+12=11.$$Значит, $$x=-1$$ — корень уравнения.
Других решений нет, так как левая часть после переноса представляет собой сумму возрастающей и убывающей функций, пересекающихся только в одной точке.
Ответ
1) $$x=-2,\ 4$$; $$y>0$$ при $$x<-2$$ или $$x>4$$; возрастает на $$[1;+\infty)$$, убывает на $$(-\infty;1]$$; $$\min_{\mathbb R} f(x)=-9$$, $$\max_{\mathbb R} f(x)$$ не существует; $$\min_{[-2;0]} f(x)=-8$$, $$\max_{[-2;0]} f(x)=0$$.
2) Убывает на $$(-2;+\infty)$$.
3) $$\min_{D(f)} f(x)=2,\ \max_{D(f)} f(x)=4$$.
4) Убывает.
5) $$x=-1$$.
