Вариант 2 Самостоятельная работа 19 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Математическое моделирование
1. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 50 км, выехали одновременно навстречу друг другу два велосипедиста и встретились через 2 ч. Найдите скорость каждого велосипедиста, если один из них потратил на путь из одного села в другое на 1 ч 40 мин меньше, чем другой.
2. Две бригады, работая одновременно, могут отремонтировать дорогу за 6 ч. Если же сначала первая бригада самостоятельно отремонтирует 3/5 дороги, а потом вторая — оставшуюся часть дороги, то весь ремонт будет выполнен за 12 ч. За сколько часов может отремонтировать дорогу каждая бригада, работая самостоятельно?
3. В двух сплавах массы меди и олова относятся как 3:4 и 1:6 соответственно. Сколько килограммов первого сплава и сколько килограммов второго надо взять, чтобы, переплавив их, получить 42 кг нового сплава, в котором массы меди и олова относятся как 5:16?
Пусть $$x$$ км/ч — скорость первого велосипедиста, $$y$$ км/ч — скорость второго.
Тогда за 2 ч они вместе проехали 50 км:
$$2(x+y)=50,$$
откуда
$$x+y=25,$$
$$y=25-x.$$
По условию на путь в 50 км первый тратит на $$1\text{ ч }40\text{ мин}=\frac{5}{3}\text{ ч}$$ меньше второго:
$$\frac{50}{x}-\frac{50}{y}=\frac{5}{3}.$$
Подставим $$y=25-x$$:
$$ \frac{50}{x}-\frac{50}{25-x}=\frac{5}{3} $$
$$ 30(25-x)-30x=x(25-x) $$
$$ 750-60x=25x-x^2 $$
$$ x^2-85x+750=0. $$$$ D=85^2-4\cdot 750=4225, $$
$$ x=\frac{85\pm 65}{2}. $$Получаем $$x=10$$ или $$x=75$$. Значение $$x=75$$ не подходит, так как тогда $$y=25-75<0$$. Значит, $$x=10$$, $$y=15$$.
Пусть $$x$$ ч — время, за которое первая бригада может отремонтировать дорогу одна, $$y$$ ч — время второй бригады.
Тогда их совместная производительность:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{6}.$$
Если первая бригада выполнит $$\frac{3}{5}$$ дороги, а вторая — оставшуюся часть, то:
$$\frac{3}{5}x+\frac{2}{5}y=12.$$
Умножим на 5:
$$3x+2y=60,$$
$$y=30-1{,}5x.$$
Подставим в первое уравнение:
$$ \frac{1}{x}+\frac{1}{30-1{,}5x}=\frac{1}{6} $$
$$ 6(30-1{,}5x)+6x=x(30-1{,}5x) $$
$$ 180-9x+6x=30x-1{,}5x^2 $$
$$ 1{,}5x^2-33x+180=0 $$
$$ x^2-22x+120=0. $$$$ D=22^2-4\cdot 120=4, $$
$$ x=\frac{22\pm 2}{2}. $$Получаем $$x=10$$ или $$x=12$$. Тогда из $$3x+2y=60$$:
при $$x=10$$: $$30+2y=60$$, значит $$y=15$$;
при $$x=12$$: $$36+2y=60$$, значит $$y=12$$.Пусть $$x$$ кг — масса первого сплава, $$y$$ кг — масса второго.
Тогда
$$x+y=42.$$
В первом сплаве меди $$\frac{3}{7}$$, олова $$\frac{4}{7}$$; во втором — меди $$\frac{1}{7}$$, олова $$\frac{6}{7}$$.
В новом сплаве масса меди составляет
$$42\cdot \frac{5}{21}=10\text{ кг}.$$
Составим уравнение по меди:
$$ \frac{3}{7}x+\frac{1}{7}y=10. $$
Подставим $$y=42-x$$:
$$ \frac{3}{7}x+\frac{1}{7}(42-x)=10 $$
$$ \frac{2}{7}x+6=10 $$
$$ \frac{2}{7}x=4 $$
$$ x=14. $$Тогда
$$y=42-14=28.$$
Ответ
1) $$10\text{ км/ч}$$ и $$15\text{ км/ч}$$; 2) $$10\text{ ч}$$ и $$15\text{ ч}$$; $$12\text{ ч}$$ и $$12\text{ ч}$$; 3) $$14\text{ кг}$$ и $$28\text{ кг}$$.
