Вариант 2 Самостоятельная работа 18 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Неравенства между средними величинами. Неравенство Коши-Буняковского
1. Для положительных чисел х и у докажите неравенство 112x/y+y/(28x)?4.
2. При a > 3 докажите неравенство a+1/(a-3)?5.
3. Известно, что a^2+b^2=18, c^2+d^2=8. Докажите, что |ac-bd|?12.
4. Известно, что x+y=2. Докажите, что v(x^2+4y^2)+v(y^2+4x^2)?3v2.

1. Для положительных чисел $$x$$ и $$y$$ применим неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим:

   $$\frac{112x}{y}+\frac{y}{28x}\ge 2\sqrt{\frac{112x}{y}\cdot \frac{y}{28x}}=2\sqrt{4}=4.$$

2. При $$a>3$$ имеем $$a-3>0$$. Тогда

   $$a-3+\frac{1}{a-3}\ge 2\sqrt{(a-3)\cdot \frac{1}{a-3}}=2.$$

   Следовательно,

   $$a+\frac{1}{a-3}\ge 5.$$

3. По неравенству Коши-Буняковского:

   $$|ac-bd|\le \sqrt{a^2+b^2}\cdot \sqrt{c^2+d^2}.$$

   Подставим данные:

   $$|ac-bd|\le \sqrt{18}\cdot \sqrt{8}=\sqrt{144}=12.$$

4. Так как $$x+y=2$$, то

   $$\sqrt{x^2+4y^2}+\sqrt{y^2+4x^2}\ge \frac{x+2y}{\sqrt{2}}+\frac{y+2x}{\sqrt{2}}.$$

   Сложим правые части:

   $$\frac{x+2y+y+2x}{\sqrt{2}}=\frac{3(x+y)}{\sqrt{2}}=\frac{3\cdot 2}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}.$$

Ответ

1) $$\frac{112x}{y}+\frac{y}{28x}\ge 4$$; 2) $$a+\frac{1}{a-3}\ge 5$$; 3) $$|ac-bd|\le 12$$; 4) $$\sqrt{x^2+4y^2}+\sqrt{y^2+4x^2}\ge 3\sqrt{2}$$.