Вариант 2 Самостоятельная работа 17 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Основные методы доказательства неравенств
1. Докажите неравенство:
1) 16x^2-8xy+3y^2?0;
2) m^2 n^2+m^2+4n^2+9?10mn;
3) 1/(1·5)+1/(5·9)+…+1/(n·(n+4)) < 1/4, где n?N; 2. Известно, что a?[0; 2], b?[0; 2], c?[0; 2]. Докажите неравенство a/(4+b)+b/(4+c)+c/(4+a)?1.

1. Докажем по пунктам.

   1) $$16x^2-8xy+3y^2=16x^2-8xy+y^2+2y^2=(4x-y)^2+2y^2\ge 0.$$

   2) $$m^2n^2+m^2+4n^2+9-10mn=m^2n^2-6mn+9+m^2-4mn+4n^2=(mn-3)^2+(m-2n)^2\ge 0.$$

   3) $$\frac1{1\cdot 5}+\frac1{5\cdot 9}+\cdots+\frac1{(4n-3)(4n+1)}<\frac14.$$

   Заметим, что

   $$\frac1{(4k-3)(4k+1)}=\frac14\left(\frac1{4k-3}-\frac1{4k+1}\right).$$

   Тогда

   $$ \frac1{1\cdot 5}+\frac1{5\cdot 9}+\cdots+\frac1{(4n-3)(4n+1)} =\frac14\left(1-\frac1{4n+1}\right)<\frac14. $$

2. Пусть $$a,b,c\in[0;2].$$ Тогда $$a+b\le 4,\quad b+c\le 4,\quad c+a\le 4.$$

   Следовательно,

   $$ 4+b\ge a+b+c,\quad 4+c\ge a+b+c,\quad 4+a\ge a+b+c. $$

   Так как все знаменатели положительны, то

   $$ \frac{a}{4+b}\le \frac{a}{a+b+c},\quad \frac{b}{4+c}\le \frac{b}{a+b+c},\quad \frac{c}{4+a}\le \frac{c}{a+b+c}. $$

   Складывая, получаем

   $$ \frac{a}{4+b}+\frac{b}{4+c}+\frac{c}{4+a} \le \frac{a+b+c}{a+b+c}=1. $$

Ответ

1) $$16x^2-8xy+3y^2\ge 0,$$ $$m^2n^2+m^2+4n^2+9\ge 10mn,$$ $$\frac1{1\cdot 5}+\frac1{5\cdot 9}+\cdots+\frac1{(4n-3)(4n+1)}<\frac14.$$

2) $$\frac{a}{4+b}+\frac{b}{4+c}+\frac{c}{4+a}\le 1.$$