Вариант 2 Самостоятельная работа 16 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Системы неравенств с двумя переменными
1. Изобразите на координатной плоскости ху множество решений системы неравенств {x^2+y^2 > 10, xy?3}.
2. Изобразите график неравенства:
1) |2x-y| > 1;
2) v(3x-y+2) < v(2x+y). 3. Изобразите на координатной плоскости ху множество точек, координаты которых удовлетворяют условию min{2y, 3}=x-2.

Подробный ответ

Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x^2+y^2>10,\\ xy\le 3. \end{cases} $$
Первое неравенство задаёт внешность окружности с центром в начале координат и радиусом $$\sqrt{10}$$, причём граница не входит.
Второе неравенство задаёт область, лежащую не выше гиперболы $$y=\dfrac{3}{x}$$ в I и III четвертях и не ниже её в II и IV четвертях, включая саму гиперболу.
Искомое множество — пересечение этих областей.
1) $$|2x-y|>1$$
$$ \begin{cases} 2x-y>1,\\ \text{или}\\ 2x-y<-1. \end{cases} $$
Отсюда
$$ \begin{cases} y<2x-1,\\ \text{или}\\ y>2x+1. \end{cases} $$
Граница — прямые $$y=2x-1$$ и $$y=2x+1$$, они не входят в решение.
2) $$\sqrt{3x-y+2}<\sqrt{2x+y}$$
Для существования корней нужно:
$$ \begin{cases} 3x-y+2\ge 0,\\ 2x+y\ge 0. \end{cases} $$
Так как функция $$\sqrt{t}$$ возрастает, то при выполнении ОДЗ имеем
$$ 3x-y+2<2x+y. $$
Отсюда
$$ 2y>x+2,\qquad y>\dfrac{x}{2}+1. $$
С учётом ОДЗ получаем область, лежащую выше прямой $$y=\dfrac{x}{2}+1$$ и одновременно удовлетворяющую условиям существования корней.
$$\min\{2y,3\}=x-2$$
Рассмотрим два случая:
1) $$2y\le 3$$, тогда $$\min\{2y,3\}=2y$$ и
$$ 2y=x-2 \quad \Rightarrow \quad y=\dfrac{x}{2}-1. $$
При этом должно быть $$2y\le 3$$, то есть $$y\le \dfrac{3}{2}$$.
2) $$2y>3$$, тогда $$\min\{2y,3\}=3$$ и
$$ 3=x-2 \quad \Rightarrow \quad x=5. $$
При этом $$y>\dfrac{3}{2}$$.
Значит, множество решений состоит из луча прямой $$y=\dfrac{x}{2}-1$$ при $$y\le \dfrac{3}{2}$$ и вертикального луча $$x=5$$ при $$y>\dfrac{3}{2}$$.