Вариант 2 Самостоятельная работа 15 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Неравенства с двумя переменными
Постройте график неравенства:
1) y?-x^2+4x-3; 2) xy > 4;
3) (x-3y+2)(x+y-3) < 0; 4) (y-2x^2)/|y-2| < 0.

1. $$y \le -x^2+4x-3.$$

   Приведём к виду вершины параболы:

   $$y \le -(x^2-4x+4)+1 = -(x-2)^2+1.$$

   Вершина параболы: $$\left(2;1\right)$$, ветви направлены вниз. Граница входит в решение, так как знак неравенства нестрогий.

2. $$xy>4.$$

   Если $$x>0$$, то

   $$y>\frac{4}{x}.$$

   Если $$x<0$$, то при делении на отрицательное число знак меняется:

   $$y<\frac{4}{x}.$$

   Граница $$xy=4$$ не входит в решение.

3. $$\left(x-3y+2\right)\left(x+y-3\right)<0.$$

   Произведение отрицательно, когда множители разных знаков:

   $$ \begin{cases} x-3y+2>0,\\ x+y-3<0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x-3y+2<0,\\ x+y-3>0 \end{cases} $$

   Первый случай:

   $$x-3y+2>0 \;\Rightarrow\; y<\frac{x+2}{3},$$

   $$x+y-3<0 \;\Rightarrow\; y<3-x.$$

   Второй случай:

   $$x-3y+2<0 \;\Rightarrow\; y>\frac{x+2}{3},$$

   $$x+y-3>0 \;\Rightarrow\; y>3-x.$$

   Итак, решение — объединение областей, лежащих между прямыми $$y=\frac{x+2}{3}$$ и $$y=3-x$$.

4. $$\frac{y-2x^2}{|y-2|}<0.$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль, значит $$y\ne 2$$.

   Так как $$|y-2|>0$$ при $$y\ne 2$$, знак дроби определяется числителем. Поэтому

   $$y-2x^2<0 \;\Rightarrow\; y<2x^2,$$

   при условии $$y\ne 2.$$

   Следовательно, нужно взять область ниже параболы $$y=2x^2$$, исключив прямую $$y=2$$.

Ответ

1. $$y \le -x^2+4x-3.$$
2. $$xy>4,\; x\ne 0;\; \text{то есть } \begin{cases}x>0,\; y>\frac{4}{x},\\ x<0,\; y<\frac{4}{x}.\end{cases}$$
3. $$\left(x-3y+2\right)\left(x+y-3\right)<0,$$ то есть
   $$\begin{cases} y<\frac{x+2}{3},\; y<3-x \end{cases} \text{ или } \begin{cases} y>\frac{x+2}{3},\; y>3-x \end{cases}.$$
4. $$y<2x^2,\; y\ne 2.$$