Вариант 2 Самостоятельная работа 14 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Метод замены переменных и другие способы решения систем уравнений с двумя переменными
Решите систему уравнений:
1) {x/y-y/x=15/4, 2x-5y=9}; 3) {x^2+2xy-10y^2=0, x^2+2xy-y^2=28};
2) {v(x^2-4)+v(y^2+4)=6, x^2+y^2=26}; 4) {x-y+xy=10, xy(x-y)=16).

1. Пусть $$t=\frac{x}{y}$$, тогда $$\frac{y}{x}=\frac{1}{t}$$. Получаем:
   $$t-\frac{1}{t}=\frac{15}{4}.$$
   Умножим на $$4t$$:
   $$ 4t^2-15t-4=0. $$
   $$D=15^2+4\cdot 4\cdot 4=289,$$
   поэтому
   $$ t_1=\frac{15-17}{8}=-\frac14,\qquad t_2=\frac{15+17}{8}=4. $$
   
   1) Если $$\frac{x}{y}=-\frac14$$, то $$y=-4x$$. Тогда
   $$ 2x-5(-4x)=9,\quad 22x=9,\quad x=\frac{9}{22},\quad y=-\frac{18}{11}=-1\frac{7}{11}. $$
   2) Если $$\frac{x}{y}=4$$, то $$x=4y$$. Тогда
   $$ 2\cdot 4y-5y=9,\quad 3y=9,\quad y=3,\quad x=12. $$

   Ответ: $$\left(\frac{9}{22};-\frac{18}{11}\right),\ (12;3).$$

2. Из второго уравнения:
   $$ y^2=26-x^2. $$
   Подставим в первое:
   $$ \sqrt{x^2-4}+\sqrt{30-x^2}=6. $$
   Обозначим $$a=\sqrt{x^2-4}$$, $$b=\sqrt{30-x^2}$$. Тогда
   $$ a+b=6,\qquad a^2+b^2=(x^2-4)+(30-x^2)=26. $$
   Следовательно,
   $$ (a+b)^2=a^2+b^2+2ab $$
   $$ 36=26+2ab,\qquad ab=5. $$
   Тогда числа $$a$$ и $$b$$ — корни уравнения
   $$ t^2-6t+5=0, $$
   откуда $$t=1$$ или $$t=5$$.
   Значит,
   $$ \sqrt{x^2-4}=1 \ \text{или}\ 5. $$
   Если $$\sqrt{x^2-4}=1$$, то $$x^2=5$$, а из $$y^2=26-5=21$$ получаем $$y=\pm\sqrt{21}$$.
   Если $$\sqrt{x^2-4}=5$$, то $$x^2=29$$, но тогда $$y^2=26-29=-3$$, что невозможно.

   Ответ: $$(-\sqrt5;-\sqrt{21}),\ (-\sqrt5;\sqrt{21}),\ (\sqrt5;-\sqrt{21}),\ (\sqrt5;\sqrt{21}).$$

3. Из первого уравнения:
   $$ x^2+3xy-10y^2=0. $$
   Рассмотрим его как квадратное относительно $$x$$:
   $$ D=(3y)^2+40y^2=49y^2. $$
   Тогда
   $$ x=\frac{-3y\pm 7y}{2}, $$
   то есть
   $$ x=2y \quad \text{или} \quad x=-5y. $$
   1) Если $$x=2y$$, то из второго уравнения:
   $$ 4y^2+4y^2-y^2=28,\quad 7y^2=28,\quad y^2=4. $$
   Значит, $$y=\pm 2$$, тогда $$x=\pm 4$$.
   
   2) Если $$x=-5y$$, то
   $$ 25y^2-10y^2-y^2=28,\quad 14y^2=28,\quad y^2=2. $$
   Значит, $$y=\pm\sqrt2$$, тогда $$x=\mp 5\sqrt2$$.

   Ответ: $$(-4;-2),\ (4;2),\ (-5\sqrt2;\sqrt2),\ (5\sqrt2;-\sqrt2).$$

4. Пусть $$u=x-y$$, $$t=xy$$. Тогда система принимает вид:
   $$ u+t=10,\qquad ut=16. $$
   Следовательно, $$u$$ и $$t$$ — корни уравнения
   $$ z^2-10z+16=0. $$
   Получаем:
   $$ z_1=2,\qquad z_2=8. $$
   
   1) Если $$u=8$$, $$t=2$$, то
   $$ x-y=8,\qquad xy=2. $$
   Подставим $$y=x-8$$:
   $$ x(x-8)=2,\quad x^2-8x-2=0. $$
   $$ D=72,\qquad x=4\pm 3\sqrt2. $$
   Тогда
   $$ y=-4\pm 3\sqrt2. $$
   2) Если $$u=2$$, $$t=8$$, то
   $$ x-y=2,\qquad xy=8. $$
   Подставим $$y=x-2$$:
   $$ x(x-2)=8,\quad x^2-2x-8=0. $$
   $$ x=-2 \ \text{или}\ x=4. $$
   Тогда
   $$ y=-4 \ \text{или}\ y=2. $$

   Ответ: $$(-2;-4),\ (4;2),\ (4+3\sqrt2;\,-4+3\sqrt2),\ (4-3\sqrt2;\,-4-3\sqrt2).$$