Вариант 2 Самостоятельная работа 13 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Решение систем уравнений с двумя переменными методом подстановки и методами сложения и умножения
Решите систему уравнений:
1) {x^2+xy-3y=-1, 4x-y=3};
2) {(x-2)(y-1)=0, 2x^2+y^2+xy=7};
3) {x^2+2xy=-1, 4xy+9y^2=5};
4) {x^3 y^3+x^2 y^4=12, x^4 y^2+x^3 y^3=24}.

Подробный ответ

$$ \begin{cases} x^2+xy-3y=-1,\\ 4x-y=3 \end{cases} $$
Из второго уравнения:
$$y=4x-3.$$
Подставим в первое уравнение:
$$ x^2+x(4x-3)-3(4x-3)=-1 $$
$$ x^2+4x^2-3x-12x+9=-1 $$
$$ 5x^2-15x+10=0 $$
$$ x^2-3x+2=0 $$
$$ (x-1)(x-2)=0 $$
Отсюда $$x=1$$ или $$x=2$$.
Тогда:
при $$x=1$$: $$y=4\cdot 1-3=1$$;
при $$x=2$$: $$y=4\cdot 2-3=5$$.
$$ \begin{cases} (x-2)(y-1)=0,\\ 2x^2+y^2+xy=7 \end{cases} $$
Из первого уравнения получаем два случая:
1) $$x=2$$;
2) $$y=1$$.
1) Если $$x=2$$, то
$$ 2\cdot 2^2+y^2+2y=7 $$
$$ y^2+2y+1=0 $$
$$ (y+1)^2=0 $$
$$y=-1.$$
Получаем точку $$ (2;-1) $$.
2) Если $$y=1$$, то
$$ 2x^2+1+x=7 $$
$$ 2x^2+x-6=0 $$
$$ D=1+48=49 $$
$$ x=\frac{-1\pm 7}{4} $$
$$x=-2 \text{ или } x=\frac32.$$
Получаем точки $$(-2;1)$$ и $$\left(\frac32;1\right)$$.
$$ \begin{cases} x^2+2xy=-1,\\ 4xy+9y^2=5 \end{cases} $$
Умножим первое уравнение на $$4$$, а второе оставим без изменений:
$$ 4x^2+8xy=-4 $$
Сложим уравнения:
$$ x^2+6xy+9y^2=4 $$
$$ (x+3y)^2=4 $$
$$ x+3y=\pm 2 $$
$$ x=-3y\pm 2 $$
Подставим в первое уравнение.
1) Если $$x=-3y+2$$, то
$$ (-3y+2)^2+2(-3y+2)y=-1 $$
$$ 3y^2-8y+5=0 $$
$$ D=64-60=4 $$
$$ y=\frac{8\pm 2}{6} $$
$$y=1 \text{ или } y=\frac53.$$
Тогда $$x=-1$$ или $$x=-3$$ соответственно.
2) Если $$x=-3y-2$$, то
$$ (-3y-2)^2+2(-3y-2)y=-1 $$
$$ 3y^2+8y+5=0 $$
$$ D=64-60=4 $$
$$ y=\frac{-8\pm 2}{6} $$
$$y=-1 \text{ или } y=-\frac53.$$
Тогда $$x=1$$ или $$x=3$$ соответственно.
$$ \begin{cases} x^3y^3+x^2y^4=12,\\ x^4y^2+x^3y^3=24 \end{cases} $$
Вынесем общий множитель:
$$ x^2y^3(x+y)=12, $$
$$ x^3y^2(x+y)=24. $$
Разделим второе уравнение на первое:
$$ \frac{x^3y^2(x+y)}{x^2y^3(x+y)}=\frac{24}{12} $$
$$ \frac{x}{y}=2 $$
$$ x=2y. $$
Подставим в первое уравнение:
$$ (2y)^3y^3+(2y)^2y^4=12 $$
$$ 8y^6+4y^6=12 $$
$$ 12y^6=12 $$
$$ y^6=1 $$
$$y=\pm 1.$$
Тогда $$x=2y$$, значит $$x=\pm 2$$.