Вариант 2 Самостоятельная работа 12 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Графические методы решения систем уравнений с двумя переменными
1. Решите графически систему уравнении {x^2+y^2=25, xy=12}.
2. Определите графически количество решений системы уравнений {|y|=x, y=-x^2+2x+3}.
3. Сколько решений имеет система уравнений {ax+3y=12-a, 12x+ay=12}, в зависимости от значения параметра a?
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} x^2+y^2=25,\\ xy=12. \end{cases} $$
Из второго уравнения получаем $$y=\dfrac{12}{x}$$, тогда точки пересечения графиков удовлетворяют системе
$$ \begin{cases} x^2+y^2=25,\\ y=\dfrac{12}{x}. \end{cases} $$
По графику и проверке получаем точки пересечения:
$$(-4;\,-3),\;(-3;\,-4),\;(3;\,4),\;(4;\,3).$$
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} |y|=x,\\ y=-x^2+2x+3. \end{cases} $$
Из уравнения $$|y|=x$$ следует, что график состоит из двух лучей:
$$y=x \quad \text{и} \quad y=-x,$$
при $$x\ge 0$$.
Парабола $$y=-x^2+2x+3$$ пересекает эти лучи в двух точках, значит система имеет 2 решения.
Рассмотрим систему
$$ \begin{cases} ax+3y=12-a,\\ 12x+ay=12. \end{cases} $$
Найдём, при каких значениях параметра $$a$$ прямые пересекаются, параллельны или совпадают.
Определитель системы:
$$ \Delta= \begin{vmatrix} a & 3\\ 12 & a \end{vmatrix} =a^2-36. $$
Если $$\Delta\ne 0$$, то система имеет одно решение. Это при $$a\ne \pm 6$$.
Если $$a=6$$, то
$$ \begin{cases} 6x+3y=6,\\ 12x+6y=12, \end{cases} $$
второе уравнение получается из первого умножением на 2, значит решений бесконечно много.
Если $$a=-6$$, то
$$ \begin{cases} -6x+3y=18,\\ 12x-6y=12, \end{cases} $$
прямые параллельны и не совпадают, значит решений нет.
Ответ
1) $$(-4;\,-3),\;(-3;\,-4),\;(3;\,4),\;(4;\,3)$$
2) 2 решения
3) при $$a\ne \pm 6$$ — одно решение; при $$a=-6$$ — решений нет; при $$a=6$$ — бесконечно много решений
