Вариант 2 Самостоятельная работа 11 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Уравнение с двумя переменными и его график
1. Постройте график уравнения:
1) x^2+y^2-8x+4y+20=0; 2) x^2-9y^2=0;
3) |y+3|=vx; 4) (x^2+y^2-25)/(y^2-9)=0.
2. Решите уравнение (x^2+4x+7)(y^2-6y+11)=6.
$$x^2+y^2-8x+4y+20=0$$
Сгруппируем и дополним до квадратов:
$$x^2-8x+16+y^2+4y+4=0$$
$$\left(x-4\right)^2+\left(y+2\right)^2=0$$
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$x-4=0,\quad y+2=0$$
$$x=4,\quad y=-2$$
График — одна точка $$\left(4;\,-2\right)$$.
$$x^2-9y^2=0$$
$$x^2=9y^2$$
$$|x|=3|y|$$
Отсюда получаем две прямые:
$$y=\frac{1}{3}x \quad \text{и} \quad y=-\frac{1}{3}x$$
$$|y+3|=\sqrt{x}$$
Так как $$\sqrt{x}$$ определён при $$x\ge 0$$, то:
$$y+3=\sqrt{x} \quad \text{или} \quad y+3=-\sqrt{x}$$
Следовательно,
$$y=\sqrt{x}-3 \quad \text{и} \quad y=-\sqrt{x}-3$$
$$\frac{x^2+y^2-25}{y^2-9}=0$$
Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю:
$$x^2+y^2-25=0,\quad y^2-9\ne 0$$
$$x^2+y^2=25,\quad y\ne \pm 3$$
График — окружность с центром в начале координат и радиусом $$5$$, но точки с $$y=\pm 3$$ не входят в решение.
$$\left(x^2+4x+7\right)\left(y^2-6y+11\right)=6$$
Преобразуем множители:
$$x^2+4x+7=\left(x+2\right)^2+3\ge 3$$
$$y^2-6y+11=\left(y-3\right)^2+2\ge 2$$
Тогда произведение двух неотрицательных выражений не меньше $$3\cdot 2=6$$. Равенство возможно только при
$$\left(x+2\right)^2=0,\quad \left(y-3\right)^2=0$$
$$x=-2,\quad y=3$$
Ответ
1) $$\left(4;\,-2\right)$$; 2) $$y=\frac{1}{3}x$$ и $$y=-\frac{1}{3}x$$; 3) $$y=\sqrt{x}-3$$ и $$y=-\sqrt{x}-3$$; 4) $$x^2+y^2=25,\ y\ne \pm 3$$; 5) $$\left(-2;\,3\right)$$.
