Вариант 2 Самостоятельная работа 10 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Расположение нулей квадратичной функции относительно данной точки
1. При каких значениях параметра a все корни уравнения x^2+(3a-4)x-12a=0 принадлежат промежутку (-1; 5)?
2. Найдите все значения параметра a, при которых один из корней квадратного уравнения ax^2-x+2=0 больше — 3, а другой меньше -3.
3. При каких значениях параметра a корни уравнения x^2+(2a+8)x+a^2-3a-10=0 являются отрицательными числами?

1. Рассмотрим уравнение $$x^2+(3a-4)x-12a=0.$$

   Его дискриминант:

   $$ D=(3a-4)^2+48a=9a^2+24a+16=(3a+4)^2. $$

   Тогда корни:

   $$ x_1=\frac{-(3a-4)-(3a+4)}{2}=-3a,\qquad x_2=\frac{-(3a-4)+(3a+4)}{2}=4. $$

   Чтобы оба корня принадлежали промежутку $$(-1;5),$$ нужно:

   $$ -1<-3a<5. $$

   Делим на $$-3$$, меняя знаки неравенств:

   $$ -\frac{5}{3}<a<\frac{1}{3}. $$

2. Рассмотрим уравнение $$ax^2-x+2=0.$$

   Нужно, чтобы один корень был больше $$-3,$$ а другой меньше $$-3.$$ Это возможно тогда и только тогда, когда значения функции при $$x=-3$$ и на бесконечностях имеют разные знаки, то есть

   $$f(-3)=9a+3+2=9a+5<0 \quad \text{или} \quad 9a+5>0,$$

   в зависимости от знака старшего коэффициента. Удобнее рассмотреть случаи:

   1) $$a>0.$$ Тогда парабола направлена вверх, и нужно, чтобы $$f(-3)<0$$:

   $$ 9a+5<0 \;\Rightarrow\; a<-\frac{5}{9}, $$

   что невозможно при $$a>0.$$

   2) $$a<0.$$ Тогда парабола направлена вниз, и нужно, чтобы $$f(-3)>0$$:

   $$ 9a+5>0 \;\Rightarrow\; a>-\frac{5}{9}. $$

   Совмещая с $$a<0,$$ получаем:

   $$ -\frac{5}{9}<a<0. $$

3. Рассмотрим уравнение $$x^2+(2a+8)x+a^2-3a-10=0.$$

   Чтобы оба корня были отрицательными, нужно:

   $$ D\ge 0,\qquad x_1+x_2<0,\qquad x_1x_2>0. $$

   Найдём условия.

   Дискриминант:

   $$ D=(2a+8)^2-4(a^2-3a-10)\ge 0; $$

   $$ 4a^2+32a+64-4a^2+12a+40\ge 0; $$

   $$ 44a+104\ge 0,\qquad a\ge -\frac{26}{11}. $$

   Сумма корней:

   $$ x_1+x_2=-(2a+8)<0 \;\Rightarrow\; 2a+8>0 \;\Rightarrow\; a>-4. $$

   Произведение корней:

   $$ x_1x_2=a^2-3a-10=(a-5)(a+2)>0. $$

   Отсюда:

   $$ a<-2 \quad \text{или} \quad a>5. $$

   Пересекаем все условия:

   $$ a\ge -\frac{26}{11},\quad a>-4,\quad a<-2 \ \text{или}\ a>5. $$

   Получаем:

   $$ a\in\left[-\frac{26}{11};-2\right)\cup(5;+\infty). $$

Ответ

1) $$\left(-\frac{5}{3};\frac{1}{3}\right)$$; 2) $$\left(-\frac{5}{9};0\right)$$; 3) $$\left[-\frac{26}{11};-2\right)\cup(5;+\infty)$$.