Вариант 1 Контрольная работа 1 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Квадратичная функция
1. Найдите область определения функции
f(x)=v(1-4x)+3/(x^2-x-12).
2. Найдите область значений функции y=(2x-10)/x^2.
3. Исследуйте на чётность функцию:
1) y=2x-x^5;
2) y=(x^6-2x^5)/(2-x);
3) y=|x-1|/(2x+3)^2+|x+1|/(2x-3)^2.
4. Постройте график функции f(x)=-x^2+4x-3. Используя график, найдите:
1) область значений функции;
2) промежуток убывания функции;
3) множество решений неравенства f(x) > 0.
5. Постройте график функции:
1) y=|2-vx|;
2) y=v(2-x);
3) y=v(2-3x).
6. Решите уравнение v(x-2)+v(x+6)=12/x.
7. Найдите наименьшее значение функции f(x)=(x^2+2x)^2+4(x^2+2x)+5.
$$f(x)=\sqrt{1-4x}+\frac{3}{x^2-x-12}.$$
Для корня нужно:
$$1-4x\ge 0 \;\Rightarrow\; x\le \frac14.$$
Для знаменателя нужно:
$$x^2-x-12\ne 0,$$
$$x^2-x-12=(x-4)(x+3),$$
значит, $$x\ne 4,\; x\ne -3.$$
С учётом условия $$x\le \frac14$$ точка $$x=4$$ не подходит, остаётся исключить только $$x=-3.$$
Итак,
$$D(f)=(-\infty;-3)\cup(-3;\tfrac14].$$
$$y=\frac{2x-10}{x^2}.$$
Пусть $$t=x^2>0.$$ Тогда
$$y=\frac{2x-10}{x^2}=\frac{2x}{x^2}-\frac{10}{x^2}=\frac{2}{x}-\frac{10}{x^2}.$$
Удобнее выразить $$x$$ через $$y$$:
$$yx^2=2x-10,$$
$$yx^2-2x+10=0.$$
Это квадратное уравнение относительно $$x$$. Для существования действительных решений дискриминант должен быть неотрицателен:
$$D= (-2)^2-4\cdot y\cdot 10=4-40y\ge 0.$$
Отсюда
$$y\le \frac{1}{10}.$$
При $$y=\frac{1}{10}$$ значение достигается, значит
$$E(y)=(-\infty;\tfrac{1}{10}].$$
1) $$y=2x-x^5.$$
$$f(-x)=2(-x)-(-x)^5=-2x+x^5=-(2x-x^5)=-f(x).$$
Функция нечётная.
2) $$y=\frac{x^6-2x^5}{2-x}.$$
Область определения: $$x\ne 2.$$
Проверим чётность:
$$f(-x)=\frac{(-x)^6-2(-x)^5}{2-(-x)}=\frac{x^6+2x^5}{2+x}.$$
Это не равно ни $$f(x)$$, ни $$-f(x)$$. Значит, функция ни чётная, ни нечётная.
3) $$y=\frac{|x-1|}{(2x+3)^2}+\frac{|x+1|}{(2x-3)^2}.$$
Область определения: $$x\ne -\frac32,\; x\ne \frac32.$$
Проверим:
$$f(-x)=\frac{|-x-1|}{(-2x+3)^2}+\frac{|-x+1|}{(-2x-3)^2} =\frac{|x+1|}{(2x-3)^2}+\frac{|x-1|}{(2x+3)^2}=f(x).$$
Функция чётная.
$$f(x)=-x^2+4x-3.$$
Найдём вершину параболы:
$$x_0=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{2\cdot(-1)}=2,$$
$$y_0=f(2)=-4+8-3=1.$$
Ветви параболы направлены вниз, значит наибольшее значение равно $$1$$.
Тогда:
1) $$E(f)=(-\infty;1].$$
2) Функция убывает на $$[2;+\infty).$$
3) Решим неравенство:
$$-x^2+4x-3>0,$$
$$x^2-4x+3<0,$$
$$ (x-1)(x-3)<0.$$
Отсюда $$1<x<3.$$
1) $$y=|2-\sqrt{x}|.$$
Область определения: $$x\ge 0.$$
График получается из графика $$y=2-\sqrt{x}$$ отражением части, лежащей ниже оси $$Ox$$, вверх относительно оси $$Ox$$.
Ключевые точки: $$x=0 \Rightarrow y=2,$$ $$x=4 \Rightarrow y=0.$$
2) $$y=\sqrt{2-x}.$$
Область определения: $$x\le 2.$$
Ключевые точки: $$x=2 \Rightarrow y=0,$$ $$x=1 \Rightarrow y=1,$$ $$x=-2 \Rightarrow y=2.$$
3) $$y=\sqrt{2-3x}.$$
Область определения: $$x\le \frac23.$$
Ключевые точки: $$x=\frac23 \Rightarrow y=0,$$ $$x=0 \Rightarrow y=\sqrt2.$$
$$\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}=\frac{12}{x}.$$
ОДЗ:
$$x-2\ge 0,\quad x+6\ge 0,\quad x\ne 0.$$
Значит, $$x\ge 2.$$
Рассмотрим функции
$$f(x)=\sqrt{x-2}, \qquad g(x)=\frac{12}{x}-\sqrt{x+6}.$$
При $$x\ge 2$$ функция $$f(x)$$ возрастает, а $$g(x)$$ убывает, поэтому уравнение может иметь не более одного решения.
Проверим $$x=3$$:
$$\sqrt{3-2}+\sqrt{3+6}=1+3=4,$$
$$\frac{12}{3}=4.$$
Значит, $$x=3$$ — решение.
$$f(x)=(x^2+2x)^2+4(x^2+2x)+5.$$
Обозначим $$t=x^2+2x.$$ Тогда
$$f=t^2+4t+5=(t+2)^2+1.$$
Найдём наименьшее значение $$t$$:
$$t=x^2+2x=(x+1)^2-1\ge -1.$$
Минимум функции $$f$$ достигается при $$t=-1$$:
$$f_{\min}=(-1+2)^2+1=2.$$
Ответ
1) $$(-\infty;-3)\cup(-3;\tfrac14]$$; 2) $$(-\infty;\tfrac{1}{10}]$$; 3) 1) нечётная; 2) ни чётная, ни нечётная; 3) чётная; 4) 1) $$(-\infty;1]$$; 2) $$[2;+\infty)$$; 3) $$1<x<3$$; 5) графики построены по ключевым точкам; 6) $$3$$; 7) $$2$$.
