Вариант 1 Самостоятельная работа 1 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Функция
1. Найдите область определения функции
f(x)=v(2x-1)+1/(x^2-2x-8).
2. Найдите область значений функции:
1) y=3+(x^5)/x; 2) y=(x+2)/x^2.
3. Даны функции f(x)=2x-1 и g(x)=x^2-2. Задайте формулой функцию: 1) g(3x); 2) f(g(x)).
4. Постройте график функции y=(8-4x)/(x^2-2x).
5. Известно, что D(f)=[-3; 2]. Найдите область определения функции y=f(x+2).

Подробный ответ

Найдём область определения функции $$f(x)=\sqrt{2x-1}+\frac{1}{x^2-2x-8}.$$
Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:
$$2x-1\ge 0,\quad x\ge \frac12.$$
Знаменатель не должен обращаться в нуль:
$$x^2-2x-8\ne 0,$$
$$x^2-2x-8=(x-4)(x+2),$$
значит, $$x\ne 4,\quad x\ne -2.$$
С учётом условия $$x\ge \frac12$$ получаем:
$$D(f)=\left[\frac12;4\right)\cup(4;+\infty).$$
Найдём область значений.
1) $$y=3+\frac{x^5}{x}=3+x^4,\quad x\ne 0.$$
Так как $$x^4\ge 0,$$ то
$$y\ge 3.$$
Следовательно, $$E(y)=[3;+\infty).$$
2) $$y=\frac{x+2}{x^2}.$$
Преобразуем:
$$yx^2=x+2,$$
$$yx^2-x-2=0.$$
Рассмотрим это как квадратное уравнение относительно $$x$$. Для существования действительных решений дискриминант должен быть неотрицательным:
$$D=1+8y\ge 0,$$
$$y\ge -\frac18.$$
Значит,
$$E(y)=\left[-\frac18;+\infty\right).$$
Даны $$f(x)=2x-1$$ и $$g(x)=x^2-2.$$
1) $$g(3x)=(3x)^2-2=9x^2-2.$$
2) $$f(g(x))=2(x^2-2)-1=2x^2-5.$$
Преобразуем функцию:
$$y=\frac{8-4x}{x^2-2x}=\frac{4(2-x)}{x(x-2)}=-\frac{4}{x}.$$
Но при этом исходная функция не определена при $$x=0$$ и $$x=2.$$
Значит, график — это график функции $$y=-\frac{4}{x}$$ с выколотой точкой при $$x=2$$, то есть в точке $$\left(2;-2\right).$$
Область определения:
$$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;2)\cup(2;+\infty).$$
Если $$D(f)=[-3;2],$$ то для функции $$y=f(x+2)$$ нужно, чтобы
$$-3\le x+2\le 2.$$
Вычтем 2:
$$-5\le x\le 0.$$
Следовательно,
$$D(y)=[-5;0].$$