Вариант 1 Контрольная работа 8 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Итоговая
1. Постройте график функции f(x)=x^2-6x. Используя график, найдите:
1) область значений функции;
2) промежуток убывания функции;
3) множество решений неравенства f(x) > -8.
2. Решите неравенство (x^2+4x+3)/(x^2-5x+6)?0.
3. Решите систему уравнений {x^2-xy=-8, y^2-xy=24}.
4. Двое трактористов, работая вместе, могут вспахать поле за 4 дня. Если первый тракторист вспашет 1/3 поля, а затем его заменит второй, то всё поле будет вспахано за 10 дней. За сколько дней может вспахать поле каждый тракторист, работая самостоятельно?
5. Постройте график неравенства |y|(x-5)?0.
6. На четырёх карточках записаны числа 5, 6, 7 и 8. Какова вероятность того, что сумма чисел, записанных на двух наугад выбранных карточках, будет нечётным числом?
7. Докажите, что если a > 0 и b > 0, то (9+1/a)(25+1/b)(1+4ab)?240.
8. При каких значениях параметра a неравенство (a-4)x^2+(8-2a)x+5 > 0 выполняется при всех действительных значениях x?

Подробный ответ

$$f(x)=x^2-6x=(x-3)^2-9.$$
Парабола направлена ветвями вверх, вершина имеет координаты $$\left(3;\,-9\right).$$
1) Наименьшее значение функции равно $$-9,$$ значит область значений:
$$E(f)=[-9;\,+\infty).$$
2) Функция убывает до вершины, то есть на промежутке:
$$(-\infty;\,3].$$
3) Решим неравенство:
$$x^2-6x>-8$$
$$x^2-6x+8>0$$
$$\left(x-2\right)\left(x-4\right)>0.$$
Произведение положительно при
$$x\in(-\infty;\,2)\cup(4;\,+\infty).$$
Решим неравенство:
$$\frac{x^2+4x+3}{x^2-5x+6}\le 0.$$
Разложим на множители:
$$\frac{(x+1)(x+3)}{(x-2)(x-3)}\le 0.$$
Критические точки: $$x=-3,\,-1,\,2,\,3.$$
С учётом знаков дроби получаем:
$$x\in[-3;\,-1]\cup(2;\,3).$$
Решим систему:
$$ \begin{cases} x^2-xy=-8,\\ y^2-xy=24. \end{cases} $$
Сложим уравнения:
$$x^2-2xy+y^2=16,$$
$$\left(x-y\right)^2=16,$$
$$x-y=\pm 4.$$
1) Если $$x-y=4,$$ то $$y=x-4.$$ Подставим в первое уравнение:
$$x^2-x(x-4)=-8,$$
$$4x=-8,$$
$$x=-2,\quad y=-6.$$
2) Если $$x-y=-4,$$ то $$y=x+4.$$ Подставим в первое уравнение:
$$x^2-x(x+4)=-8,$$
$$-4x=-8,$$
$$x=2,\quad y=6.$$
Пусть первый тракторист вспахивает поле за $$x$$ дней, а второй — за $$y$$ дней. Тогда их производительности равны $$\frac1x$$ и $$\frac1y$$ поля в день.
По условию:
$$\frac1x+\frac1y=\frac14.$$
Если первый вспашет $$\frac13$$ поля, то на это уйдёт $$\frac{x}{3}$$ дня, а оставшиеся $$\frac23$$ поля второй вспашет за $$\frac{2y}{3}$$ дня. Тогда
$$\frac{x}{3}+\frac{2y}{3}=10,$$
$$x+2y=30.$$
Из системы
$$ \begin{cases} \frac1x+\frac1y=\frac14,\\ x+2y=30 \end{cases} $$
получаем $$x=6,$$ $$y=12.$$
Рассмотрим неравенство:
$$|y|(x-5)\le 0.$$
Так как $$|y|\ge 0,$$ то произведение не положительно, если:
$$x-5\le 0 \quad \text{или} \quad |y|=0.$$
Значит, множество решений задаётся объединением:
$$x\le 5 \quad \text{или} \quad y=0.$$
Графически это полуплоскость слева от прямой $$x=5$$ вместе с осью $$Ox.$$
Всего способов выбрать 2 карточки из 4:
$$C_4^2=6.$$
Сумма будет нечётной, если выбрать одно чётное и одно нечётное число. Чётные числа: $$6,8,$$ нечётные: $$5,7.$$
Благоприятных пар:
$$2\cdot 2=4.$$
Тогда вероятность:
$$P=\frac{4}{6}=\frac23.$$
Преобразуем выражение:
$$\left(9+\frac1a\right)\left(25+\frac1b\right)\left(1+4ab\right).$$
По неравенству AM-GM:
$$9+\frac1a\ge 2\sqrt{\frac9a}=\frac6{\sqrt a},$$
$$25+\frac1b\ge 2\sqrt{\frac{25}b}=\frac{10}{\sqrt b},$$
$$1+4ab\ge 2\sqrt{4ab}=4\sqrt{ab}.$$
Перемножая, получаем
$$\left(9+\frac1a\right)\left(25+\frac1b\right)\left(1+4ab\right)\ge \frac6{\sqrt a}\cdot \frac{10}{\sqrt b}\cdot 4\sqrt{ab}=240.$$
Рассмотрим неравенство
$$\left(a-4\right)x^2+\left(8-2a\right)x+5>0$$
при всех действительных $$x.$$
Для этого квадратный трёхчлен должен быть положительным при всех $$x,$$ значит:
$$a-4>0$$
и дискриминант должен быть отрицательным:
$$D=\left(8-2a\right)^2-4\left(a-4\right)\cdot 5<0.$$
Вычислим:
$$D=4\left(a-4\right)^2-20\left(a-4\right)=4\left(a-4\right)\left(a-9\right).$$
Тогда
$$4\left(a-4\right)\left(a-9\right)<0.$$
Совместно с условием $$a>4$$ получаем:
$$4<a<9.$$