Вариант 1 Контрольная работа 6 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Элементы комбинаторики и теории вероятностей
1. Найдите значение выражения:
1) (3P(12)-P(11))/(7P(10)); 2) A(5, 2)/C(6, 3).
2. В коробке лежат шары, иа которых девять — синие, а остальные — зелёные. Сколько в коробке зелёных шаров, если вероятность того, что выбранный наугад шар окажется зелёным, равна 4/7?
3. Сколько чётных четырёхзначных чисел, все цифры которых различны, можно записать с помощью цифр 2, 3, 4, 7 и 9?
4. Найдите все натуральные значения n, при которых выполняется неравенство 2^n?3n-1.
5. В 9 «А» классе учится 25 человек, а в 9 «Б» — 28 человек. Сколько существует способов сформировать команду иа 10 человек для участия в соревнованиях по лёгкой атлетике, если из каждого класса нужно выбрать по 5 человек?
б. Из натуральных чисел от 1 до 32 включительно наугад выбирают шесть чисел. Какова вероятность того, что среди выбранных чисел не более двух окажутся кратными числу 3?

1. $$\frac{3P_{12}-P_{11}}{7P_{10}}=\frac{3\cdot 12!-11!}{7\cdot 10!}$$

   $$=\frac{3\cdot 12\cdot 11\cdot 10!-11\cdot 10!}{7\cdot 10!}=\frac{3\cdot 12\cdot 11-11}{7}=\frac{396-11}{7}=\frac{385}{7}=55.$$

2. $$\frac{A_6^2}{C_6^3}=\frac{\frac{6!}{(6-2)!}}{\frac{6!}{3!\,3!}}=\frac{6!}{4!}\cdot\frac{3!\,3!}{6!}=\frac{3!\,3!}{4!}=\frac{6\cdot 6}{24}=1.$$

3. Пусть в коробке всего $$n$$ шаров, тогда зелёных шаров $$n-9$$. По условию:

   $$\frac{n-9}{n}=\frac{4}{7}.$$

   $$7n-63=4n,\quad 3n=63,\quad n=21.$$

   Тогда зелёных шаров:

   $$21-9=12.$$

4. Чётное четырёхзначное число должно оканчиваться на $$2$$ или $$4$$. Остальные цифры выбираем из оставшихся трёх цифр без повторений.

   Для последней цифры — $$2$$ способа, для первых трёх цифр — $$4\cdot 3\cdot 2$$ способа.

   $$N=2\cdot 4\cdot 3\cdot 2=48.$$

5. Пусть из 9 «А» класса выбирают $$5$$ человек, а из 9 «Б» класса — $$5$$ человек. Тогда число способов:

   $$N=C_{25}^5\cdot C_{28}^5.$$

   $$C_{25}^5=\frac{25!}{20!\,5!},\qquad C_{28}^5=\frac{28!}{23!\,5!}.$$

   Следовательно,

   $$N=5\,221\,616\,400.$$

6. Кратных числу $$3$$ среди чисел от $$1$$ до $$32$$ включительно ровно $$10$$:

   $$3,6,9,12,15,18,21,24,27,30.$$

   Всего способов выбрать 6 чисел из 32:

   $$C_{32}^6=906192.$$

   Благоприятные случаи: не более двух кратных $$3$$, то есть 0, 1 или 2 таких числа.

   Тогда

   $$P=\frac{C_{22}^6+C_{22}^5\cdot C_{10}^1+C_{22}^4\cdot C_{10}^2}{C_{32}^6}=\frac{667128}{906192}=\frac{3971}{5394}\approx 0{,}74.$$

Ответ

1) $$55$$; 2) $$1$$; 3) $$12$$; 4) $$48$$; 5) $$5\,221\,616\,400$$; 6) $$\approx 0{,}74$$.