Вариант 1 Контрольная работа 5 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Элементы прикладной математики
1. Вкладчик положил в банк 40 000 р. под 7% годовых. Сколько денег будет на его счёте через 2 года?
2. Найдите абсолютную погрешность приближения числа 3/7 числом 0,43.
3. Цену товара сначала повысили на 20%, а затем снизили на 40%. Как и на сколько процентов изменилась первоначальная цена вследствие этих двух переоценок?
4. Из двух сёл, расстояние между которыми равно 16 км, отправились одновременно навстречу друг другу пешеход и велосипедист и встретились через 1 ч. Найдите скорость каждого из них, если велосипедист потратил на весь путь на 2 ч 40 мин меньше, чем пешеход.
5. Два экскаватора, работая вместе, могут вырыть котлован за 12 ч. Если сначала первый экскаватор выполнит 1/3 всей работы, а потом второй экскаватор — оставшуюся часть работы, то котлован будет вырыт за 30 ч. За сколько часов может вырыть котлован каждый экскаватор, работая самостоятельно?
6. Группа из 32 туристов расположилась на стоянке в двухместных, трёхместных и шестиместных палатках. Известно, что трёхместных палаток было меньше, чем шестиместных, а шестиместных палаток меньше, чем двухместных. Сколько было палаток каждого вида?
Через 2 года сумма вклада будет равна
$$S=40000\left(1+\frac{7}{100}\right)^2=40000\cdot\left(\frac{107}{100}\right)^2=40000\cdot\frac{11449}{10000}=45796.$$
Абсолютная погрешность:
$$\left|\frac{3}{7}-0{,}43\right|=\left|\frac{3}{7}-\frac{43}{100}\right|=\left|\frac{300-301}{700}\right|=\frac{1}{700}.$$
Пусть первоначальная цена равна $$x$$. Тогда после повышения на 20% и снижения на 40% получим
$$N=x\cdot 1{,}2\cdot 0{,}6=0{,}72x.$$
Значит, новая цена составляет $$72\%$$ от первоначальной, то есть цена уменьшилась на $$28\%$$.
Пусть $$x$$ км/ч — скорость пешехода, $$y$$ км/ч — скорость велосипедиста. Тогда
$$x+y=16,$$
а по условию о времени движения:
$$\frac{16}{x}-\frac{16}{y}=2+\frac{40}{60}=\frac{8}{3}.$$
Подставим $$y=16-x$$:
$$\frac{16}{x}-\frac{16}{16-x}=\frac{8}{3}.$$
После преобразований получаем
$$x^2-28x+96=0.$$
$$D=28^2-4\cdot 96=400,$$
$$x_{1,2}=\frac{28\pm 20}{2}.$$
Отсюда $$x=4$$ или $$x=24$$. Значение $$x=24$$ не подходит, так как тогда $$y=16-24<0$$. Значит,
$$x=4,\quad y=12.$$
Пусть $$x$$ ч — время работы первого экскаватора, $$y$$ ч — время работы второго. Тогда их производительности равны $$\frac{1}{x}$$ и $$\frac{1}{y}$$.
Из условия совместной работы:
$$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}.$$
Если сначала первый выполнит $$\frac13$$ работы, а затем второй — оставшуюся часть $$\frac23$$, то
$$\frac{x}{3}+\frac{2y}{3}=30,$$
$$x+2y=90,$$
$$x=90-2y.$$
Подставим в первое уравнение:
$$\frac{1}{90-2y}+\frac{1}{y}=\frac{1}{12}.$$
После преобразований получаем
$$y^2-51y+540=0.$$
$$D=51^2-4\cdot 540=441,$$
$$y_{1,2}=\frac{51\pm 21}{2}.$$
Следовательно, $$y=15$$ или $$y=36$$. Тогда
$$x=90-2y,$$
откуда получаем пары:
$$x=60,\ y=15$$ или $$x=18,\ y=36.$$
Пусть $$x$$ — число двухместных палаток, $$y$$ — трёхместных, $$z$$ — шестиместных. Тогда
$$2x+3y+6z=32,$$
и по условию
$$y<z<x.$$
Так как $$32$$ не делится на $$6$$, рассмотрим остаток:
$$32=6\cdot 5+2.$$
Подбирая целые числа, получаем
$$z=3,\quad x=4,\quad y=2.$$
Проверка:
$$2\cdot 4+3\cdot 2+6\cdot 3=8+6+18=32,$$
и действительно $$2<3<4$$.
Ответ
1) $$45796$$ р.; 2) $$\frac{1}{700}$$; 3) цена снизилась на $$28\%$$; 4) $$4$$ км/ч и $$12$$ км/ч; 5) $$60$$ ч и $$15$$ ч; $$18$$ ч и $$36$$ ч; 6) $$4$$ двухместных, $$2$$ трёхместных, $$3$$ шестиместных палатки.
