Вариант 1 Самостоятельная работа 9 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Решения неравенств методом интервалов
1. Решите неравенство:
1) (x+7)(x-6)(x-14) < 0; 2) (x+1)(5x-9)^2 (3-x)^5 > 0;
3) 5x/(x^2-4x+3)+2/(x-1)?3/(x-3);
4) (x^2-36)v(x^2-16)?0.
2. Найдите множество решений неравенства |x-a|(3x^2-x-4)?0 в зависимости от значения параметра a.

1. $$ (x+7)(x-6)(x-14)<0 $$

   Нули произведения: $$x=-7,\; x=6,\; x=14.$$

   Знаки на промежутках меняются при переходе через каждый простой корень. При $$x>14$$ произведение положительно, значит при движении влево получаем:

   $$(-\infty;-7)\cup(6;14).$$

2. $$ (x+1)(5x-9)^2(3-x)^5>0 $$

   Так как $$ (5x-9)^2\ge 0 $$ и обращается в ноль при $$x=\frac95,$$ а степень $$5$$ нечётная, то знак выражения определяется множителями $$x+1$$ и $$3-x.$$

   Для положительности нужно:

   $$x+1>0,\quad 3-x>0,$$

   то есть

   $$-1<x<3.$$

   Точка $$x=\frac95$$ исключается, так как при ней выражение равно нулю.

   Итак,

   $$(-1;\tfrac95)\cup(\tfrac95;3).$$

3. $$\frac{5x}{x^2-4x+3}+\frac{2}{x-1}\ge \frac{3}{x-3}$$

   ОДЗ: $$x\ne 1,\; x\ne 3.$$

   Разложим знаменатель:

   $$x^2-4x+3=(x-1)(x-3).$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$ \frac{5x}{(x-1)(x-3)}+\frac{2(x-3)}{(x-1)(x-3)}-\frac{3(x-1)}{(x-1)(x-3)}\ge 0 $$

   $$ \frac{5x+2(x-3)-3(x-1)}{(x-1)(x-3)}\ge 0 $$

   $$ \frac{4x-3}{(x-1)(x-3)}\ge 0 $$

   Критические точки: $$x=\frac34,\;1,\;3.$$

   По методу интервалов получаем:

   $$\left[\frac34;1\right)\cup(3;+\infty).$$

4. $$ (x^2-36)\sqrt{x^2-16}\ge 0 $$

   ОДЗ: $$x^2-16\ge 0,$$ то есть

   $$x\le -4 \quad \text{или} \quad x\ge 4.$$

   Разложим первый множитель:

   $$x^2-36=(x-6)(x+6).$$

   На области определения корень неотрицателен, поэтому нужно, чтобы

   $$x^2-36\ge 0.$$

   Это выполняется при

   $$x\le -6 \quad \text{или} \quad x\ge 6.$$

   Пересекаем с ОДЗ:

   $$(-\infty;-6]\cup[-4;4]\cup[6;+\infty).$$

5. $$|x-a|(3x^2-x-4)\le 0$$

   Так как $$|x-a|\ge 0,$$ то произведение не положительно только в двух случаях:

   • $$|x-a|=0,$$ то есть $$x=a;$$
   • $$3x^2-x-4\le 0.$$

   Решим квадратное неравенство:

   $$ 3x^2-x-4\le 0 $$

   $$ D=(-1)^2-4\cdot 3\cdot(-4)=49 $$

   $$ x_{1,2}=\frac{1\pm 7}{6} $$

   $$ x_1=-1,\quad x_2=\frac43 $$

   Тогда

   $$-1\le x\le \frac43.$$

   Итак, множество решений зависит от параметра $$a$$:

   если $$a\in\left[-1;\frac43\right],$$ то решения:
   $$\left[-1;\frac43\right];$$

   если $$a\in(-\infty;-1)\cup\left(\frac43;+\infty\right),$$ то решения:
   $$\left[-1;\frac43\right]\cup\{a\}.$$

Ответ

1) $$(-\infty;-7)\cup(6;14);$$
2) $$(-1;\tfrac95)\cup(\tfrac95;3);$$
3) $$\left[\tfrac34;1\right)\cup(3;+\infty);$$
4) $$(-\infty;-6]\cup[-4;4]\cup[6;+\infty);$$
5) если $$a\in\left[-1;\tfrac43\right],$$ то $$\left[-1;\tfrac43\right];$$ если $$a\in(-\infty;-1)\cup\left(\tfrac43;+\infty\right),$$ то $$\left[-1;\tfrac43\right]\cup\{a\}.$$