Вариант 1 Самостоятельная работа 8 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Решение квадратных неравенств
1. Решите неравенство:
1) x^2+5x-36 < 0;
2) 2x^2-3x+4 > 0;
3) 9x^2-6x+1?0.
2. Найдите область определения функции
y=v(x^2-2x-35)+(3x+2)/v(27-3x).
3. Решите неравенство |x^2-3| > x+3.
4. При каких значениях параметра a неравенство ax^2+8x-a+10 > 0 выполняется при всех действительных значениях x?
$$x^2+5x-36<0$$
Найдём корни уравнения $$x^2+5x-36=0$$:
$$D=5^2-4\cdot 1\cdot(-36)=25+144=169$$
$$x_{1,2}=\frac{-5\pm 13}{2}$$
$$x_1=-9,\quad x_2=4$$
Тогда
$$ (x+9)(x-4)<0 $$
Значит,
$$-9<x<4$$
$$2x^2-3x+4>0$$
Вычислим дискриминант:
$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot 4=9-32=-23<0$$
Так как старший коэффициент положительный, то выражение положительно при всех действительных $$x$$.
$$9x^2-6x+1\ge 0$$
Представим квадрат двучлена:
$$9x^2-6x+1=(3x-1)^2$$
Квадрат любого числа неотрицателен, значит неравенство выполняется при всех $$x\in \mathbb{R}$$.
$$y=\sqrt{x^2-2x-35}+\frac{3x+2}{\sqrt{27-3x}}$$
Найдём область определения.
Для корня нужно:
$$x^2-2x-35\ge 0$$
$$ (x+5)(x-7)\ge 0 $$
Отсюда
$$x\le -5 \quad \text{или} \quad x\ge 7$$
Для знаменателя нужно:
$$27-3x>0$$
$$x<9$$
Пересекаем условия:
$$(-\infty;-5]\cup[7;9)$$
$$|x^2-3|>x+3$$
Рассмотрим два случая.
1) $$x^2-3<0$$, тогда
$$3-x^2>x+3$$
$$-x^2-x>0$$
$$x(x+1)<0$$
$$-1<x<0$$
2) $$x^2-3\ge 0$$, тогда
$$x^2-3>x+3$$
$$x^2-x-6>0$$
$$ (x+2)(x-3)>0 $$
$$x<-2 \quad \text{или} \quad x>3$$
Объединяем решения:
$$(-\infty;-2)\cup(-1;0)\cup(3;+\infty)$$
$$ax^2+8x-a+10>0$$
Чтобы неравенство выполнялось при всех действительных $$x$$, квадратный трёхчлен должен быть положительным при всех $$x$$. Для этого необходимо:
$$a>0$$
и
$$D<0$$
Найдём дискриминант:
$$D=8^2-4a(10-a)=64-40a+4a^2$$
Тогда
$$64-40a+4a^2<0$$
$$a^2-10a+16<0$$
$$ (a-2)(a-8)<0 $$
Отсюда
$$2<a<8$$
Ответ
1) $$(-9;4)$$; $$(-\infty;+\infty)$$; $$\mathbb{R}$$.
2) $$(-\infty;-5]\cup[7;9)$$.
3) $$(-\infty;-2)\cup(-1;0)\cup(3;+\infty)$$.
4) $$2<a<8$$.
