Вариант 1 Самостоятельная работа 7 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Квадратичная функция, ее график и свойства
1. Постройте график функции f(x)=x^2+8x+7. Используя график, найдите:
1) область значений функции;
2) промежуток возрастания и промежуток убывания функции;
3) множество решений неравенства: а) f(x) < 0; б) f(x)?0;
4) наибольшее и наименьшее значения функции на промежутке: а) [-5; 6]; б) [4; 10].
2. Пусть D — дискриминант квадратного трёхчлена ax^2+bx+c. Изобразите схематически график квадратичной функции y=ax^2+bx+c, если a > 0, D > 0, c > 0, -b/(2a) < 0.
3. При каких значениях параметра a произведение корней уравнения x^2-2ax+a^2+2a+6=0 принимает наименьшее значение?
1. Рассмотрим функцию $$f(x)=x^2+8x+7.$$
Найдём координаты вершины параболы:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{8}{2\cdot 1}=-4,$$
$$y_0=f(-4)=(-4)^2+8\cdot(-4)+7=16-32+7=-9.$$
Так как $$a=1>0,$$ ветви параболы направлены вверх, значит, наименьшее значение функции равно $$-9,$$ а область значений:
$$E(y)=[-9;+\infty).$$
Функция убывает на $$(-\infty;-4]$$ и возрастает на $$[-4;+\infty).$$
Нули функции найдём из уравнения:
$$x^2+8x+7=0,$$
$$D=8^2-4\cdot 1\cdot 7=64-28=36,$$
$$x_{1,2}=\frac{-8\pm 6}{2}.$$
Получаем:
$$x_1=-7,\quad x_2=-1.$$
Так как парабола направлена вверх, то
$$f(x)<0 \text{ при } x\in(-7;-1),$$
$$f(x)\ge 0 \text{ при } x\in(-\infty;-7]\cup[-1;+\infty).$$
На отрезке $$[-5;6]$$ наименьшее значение достигается в вершине:
$$y_{\min}=-9.$$
Наибольшее значение на концах отрезка:
$$f(-5)=25-40+7=-8,$$
$$f(6)=36+48+7=91.$$
Значит, $$y_{\max}=91.$$
На отрезке $$[4;10]$$:
$$f(4)=16+32+7=55,$$
$$f(10)=100+80+7=187.$$
Так как функция возрастает на $$[-4;+\infty),$$ то
$$y_{\min}=55,\quad y_{\max}=187.$$
2. Для функции $$y=ax^2+bx+c$$ при условиях:
- $$a>0$$ — ветви параболы направлены вверх;
- $$D>0$$ — график пересекает ось $$Ox$$ в двух точках;
- $$c>0$$ — график пересекает ось $$Oy$$ выше начала координат;
- $$-\frac{b}{2a}<0$$ — абсцисса вершины отрицательна, значит, вершина расположена левее оси $$Oy$$.
3. По теореме Виета для уравнения
$$x^2-2ax+a^2+2a+6=0$$
произведение корней равно
$$x_1x_2=a^2+2a+6.$$
Преобразуем:
$$a^2+2a+6=(a+1)^2+5.$$
Минимум этого выражения достигается при
$$a+1=0,\quad a=-1,$$
и равен
$$5.$$
Ответ
1) $$E(y)=[-9;+\infty);$$ функция убывает на $$(-\infty;-4]$$, возрастает на $$[-4;+\infty);$$
$$f(x)<0$$ при $$x\in(-7;-1);$$
$$f(x)\ge 0$$ при $$x\in(-\infty;-7]\cup[-1;+\infty);$$
на $$[-5;6]$$: $$y_{\min}=-9,$$ $$y_{\max}=91;$$
на $$[4;10]$$: $$y_{\min}=55,$$ $$y_{\max}=187.$$
2) Парабола направлена вверх, пересекает ось $$Ox$$ в двух точках, ось $$Oy$$ выше начала координат, вершина левее оси $$Oy$$.
3) $$a=-1,$$ наименьшее значение произведения корней равно $$5.$$
