Вариант 1 Самостоятельная работа 6 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Построение графиков функций y=f(|x|) и y=|f(x)|
1. Постройте график функции:
1) y=|vx-3|;
2) y=v(|x|-3);
3) y=v|x-3|;
4) y=v(|x-3|-3).
2. Функция f такова, что D(f)=[-2; 3) и E(f)=[-7; 4). Найдите область определения и область значений функции |f(|x|)|.
3. При каких значениях параметра a уравнение |2|x|-1|=x-a имеет три корня?

1. 1) $$y=\left|\sqrt{x}-3\right|.$$

   Так как $$\sqrt{x}\ge 0,$$ то сначала строим график $$y=\sqrt{x},$$ затем отражаем часть графика, лежащую ниже прямой $$y=3,$$ относительно этой прямой.

   Ключевые точки: $$x=0,\ y=3; \quad x=9,\ y=0.$$

   Область определения: $$x\ge 0.$$

2. 2) $$y=\sqrt{|x|-3}.$$

   Для существования корня нужно:

   $$|x|-3\ge 0 \;\Rightarrow\; |x|\ge 3 \;\Rightarrow\; x\le -3 \text{ или } x\ge 3.$$

   График состоит из двух симметричных ветвей, начинающихся в точках $$(-3,0)$$ и $$ (3,0).$$

   Область определения: $$(-\infty,-3]\cup[3,\infty).$$

   Область значений: $$[0,\infty).$$

3. 3) $$y=\sqrt{|x-3|}.$$

   Это график функции $$y=\sqrt{x}$$, сдвинутый вправо на $$3$$ единицы и симметрично продолженный относительно прямой $$x=3.$$

   Минимум достигается при $$x=3$$ и равен $$0.$$

   Область определения: $$(-\infty,\infty).$$

   Область значений: $$[0,\infty).$$

4. 4) $$y=\sqrt{|x-3|-3}.$$

   Нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

   $$|x-3|-3\ge 0 \;\Rightarrow\; |x-3|\ge 3.$$

   Отсюда:

   $$x-3\le -3 \text{ или } x-3\ge 3,$$

   $$x\le 0 \text{ или } x\ge 6.$$

   График имеет две ветви с началом в точках $$ (0,0)$$ и $$ (6,0).$$

   Область определения: $$(-\infty,0]\cup[6,\infty).$$

   Область значений: $$[0,\infty).$$

2. Пусть $$t=|x|.$$ Тогда из условия $$D(f)=[-2;3)$$ получаем:

$$-2\le |x|<3.$$

Так как $$|x|\ge 0,$$ то достаточно:

$$|x|<3 \;\Rightarrow\; -3<x<3.$$

Следовательно,

$$D\bigl(|f(|x|)|\bigr)=(-3;3).$$

Для значений функции: при $$x\in(-3;3)$$ имеем $$|x|\in[0;3),$$ значит аргумент $$|x|$$ пробегает часть области определения функции $$f,$$ а значения $$f(|x|)$$ лежат в промежутке $$[-7;4).$$ После взятия модуля получаем значения $$|f(|x|)|\ge 0,$$ причём верхняя граница не ограничена снизу только модулем отрицательных значений, поэтому множество значений не является промежутком вида $$[a;b).$$

Итак, область значений функции $$|f(|x|)|$$ — $$[0;+\infty).$$

3. Рассмотрим уравнение

$$|2|x|-1|=x-a.$$

Левая часть чётная, поэтому удобно рассмотреть случаи.

1) $$x\ge 0$$. Тогда $$|x|=x$$ и

$$|2x-1|=x-a.$$

График левой части имеет вершину в точке $$\left(\frac12,0\right),$$ а правой — прямая $$y=x-a.$$

Чтобы уравнение имело ровно три корня, прямая должна проходить так, чтобы пересекать график в трёх точках. Это возможно при

$$a=-1 \quad \text{или} \quad a=-\frac12.$$

Проверка даёт ровно три корня в обоих случаях.

Ответ

1) $$y=\left|\sqrt{x}-3\right|$$; $$D=[0;+\infty).$$
2) $$y=\sqrt{|x|-3}$$; $$D=(-\infty,-3]\cup[3,\infty),\ E=[0;+\infty).$$
3) $$y=\sqrt{|x-3|}$$; $$D=(-\infty,\infty),\ E=[0;+\infty).$$
4) $$y=\sqrt{|x-3|-3}$$; $$D=(-\infty,0]\cup[6,\infty),\ E=[0;+\infty).$$

2) $$D\bigl(|f(|x|)|\bigr)=(-3;3),\quad E\bigl(|f(|x|)|\bigr)=[0;+\infty).$$

3) $$a=-1,\ -\frac12.$$