Вариант 1 Контрольная работа 4 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Неравенства с двумя переменными и их системы. Доказательство неравенств
1. Изобразите график неравенства:
1) x-4y?8; 2) (x-1)^2+y^2?4.
2. Изобразите на координатной плоскости ху множество решений системы неравенств{|x| < 2, y > 3}.
3. Задайте системой неравенств фигуру, изображённую на рисунке 9.
4. Докажите неравенство x^2+9y^4+1?-3xy^2-x+3y^2.
5. Известно, что a > 0, b > 0 и 2a+3b=12. Найдите наибольшее значение выражения ab.
6. При каких значениях параметра a система неравенств {x^2-2x-a+3?0, a-x?3} имеет решение?
7. Докажите неравенство v(1+3x)+v(6-2x)+v(5-x)?6.
1) $$x-4y\ge 8$$
Выразим $$y$$:
$$4y\le x-8,\qquad y\le 0{,}25x-2.$$
Граница — прямая $$y=0{,}25x-2$$, нужная полуплоскость лежит ниже этой прямой, сама прямая входит в решение.
2) $$\left(x-1\right)^2+y^2\le 4$$
Это круг с центром $$\left(1;0\right)$$ и радиусом $$2$$. Берётся внутренняя область круга вместе с окружностью.
$$|x|<2,\qquad y>3.$$
Из $$|x|<2$$ получаем $$-2<x<2$$. Тогда множество решений — полоса между прямыми $$x=-2$$ и $$x=2$$, расположенная выше прямой $$y=3$$. Границы не входят.
По рисунку фигура задаётся системой:
$$ \begin{cases} y\ge x^2,\\ y\le 4 \end{cases} $$
Докажем неравенство:
$$x^2+9y^4+1\ge -3xy^2-x+3y^2.$$
Перенесём всё в левую часть и преобразуем:
$$ x^2+9y^4+1+3xy^2+x-3y^2\ge 0 $$
$$ x^2+2x+1+9y^4-6y^2+1+x^2+6xy^2+9y^4\ge 0 $$
$$ (x+1)^2+(3y^2-1)^2+(x+3y^2)^2\ge 0. $$
Это верно при любых $$x$$ и $$y$$.
Пусть $$a>0$$, $$b>0$$ и $$2a+3b=12$$. Тогда по неравенству между средним арифметическим и геометрическим:
$$ 2a+3b\ge 2\sqrt{2a\cdot 3b}=2\sqrt{6ab}. $$
Отсюда
$$ 12\ge 2\sqrt{6ab},\qquad \sqrt{6ab}\le 6, $$
$$ 6ab\le 36,\qquad ab\le 6. $$
Наибольшее значение выражения $$ab$$ равно $$6$$.
Рассмотрим систему:
$$ \begin{cases} x^2-2x-a+3\le 0,\\ a-x\le 3 \end{cases} $$
Из второго неравенства:
$$x\ge a-3.$$
Первое неравенство равносильно:
$$ x^2-2x-(a-3)\le 0. $$
Его корни:
$$ x_{1,2}=1\pm \sqrt{a-2}. $$
Чтобы система имела решение, нужно, чтобы промежуток решений первого неравенства пересекался с условием $$x\ge a-3$$. Это приводит к ограничениям:
$$a\ge 2,\qquad a\le 6.$$
Следовательно,
$$a\in[2;6].$$
Докажем неравенство:
$$\sqrt{1+3x}+\sqrt{6-2x}+\sqrt{5-x}\le 6.$$
По неравенству Коши:
$$ \left(\sqrt{1+3x}+\sqrt{6-2x}+\sqrt{5-x}\right)^2 \le (1+3x+6-2x+5-x)(1+1+1). $$
Так как
$$ 1+3x+6-2x+5-x=12, $$
то
$$ \left(\sqrt{1+3x}+\sqrt{6-2x}+\sqrt{5-x}\right)^2\le 36, $$
значит
$$ \sqrt{1+3x}+\sqrt{6-2x}+\sqrt{5-x}\le 6. $$
Ответ
1) $$y\le 0{,}25x-2$$; $$\left(x-1\right)^2+y^2\le 4$$. 2) $$-2<x<2,\ y>3$$. 3) $$\begin{cases}y\ge x^2,\\ y\le 4\end{cases}$$. 4) Неравенство верно. 5) $$6$$. 6) $$a\in[2;6]$$. 7) Неравенство верно.
