Вариант 1 Самостоятельная работа 5 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Построение графиков функций y=f(x)+b и y=f(x+a)
1. Каковы координаты вершины параболы:
1) y=x^2+7;
2) y=(x+8)^2;
3) y=(x-6)^2+9?
2. Постройте график функции y=vx. Используя этот график, постройте график функции:
1) y=vx-4; 2) y=3+v(x+1).
3. Постройте график функции y=(2x)/(x+3).
4. Сколько корней имеет уравнение |x+3|=a-x^2 в зависимости от значения параметра a?

Подробный ответ

Вершина параболы $$y=x^2+7$$ имеет координаты $$\left(0;7\right)$$.
Функция $$y=(x+8)^2$$ получается сдвигом графика $$y=x^2$$ влево на 8, поэтому вершина: $$\left(-8;0\right)$$.
Функция $$y=(x-6)^2+9$$ получается сдвигом графика $$y=x^2$$ вправо на 6 и вверх на 9, поэтому вершина: $$\left(6;9\right)$$.
График функции $$y=\sqrt{x}$$ сдвигаем:
- для $$y=\sqrt{x}-4$$ — вниз на 4;
- для $$y=3+\sqrt{x+1}$$ — влево на 1 и вверх на 3.
Преобразуем функцию:
$$ y=\frac{2x}{x+3}=\frac{2x+6-6}{x+3}=2-\frac{6}{x+3}. $$
Это гипербола с центром $$\left(-3;2\right)$$.
Асимптоты: $$x=-3$$ и $$y=2$$.
Рассмотрим уравнение
$$|x+3|=a-x^2.$$
Так как левая часть неотрицательна, то должно быть $$a-x^2\ge 0$$.
Решим по случаям.
1) Если $$x\ge -3$$, то $$|x+3|=x+3$$ и
$$ x+3=a-x^2 \\ x^2+x+(3-a)=0. $$
Дискриминант:
$$ D=1-4(3-a)=4a-11. $$
Корни существуют при $$a\ge \frac{11}{4}$$.
2) Если $$x<-3$$, то $$|x+3|=-x-3$$ и
$$ -x-3=a-x^2 \\ x^2-x-(a+3)=0. $$
Дискриминант:
$$ D=1+4(a+3)=4a+13>0 $$
при любых $$a$$, но нужно учитывать условие $$x<-3$$ и $$a-x^2\ge 0$$.
В точке касания число корней меняется при $$a=\frac{11}{4}$$. Поэтому:
- при $$a<\frac{11}{4}$$ корней нет;
- при $$a=\frac{11}{4}$$ один корень;
- при $$a>\frac{11}{4}$$ два корня.