Вариант 1 Самостоятельная работа 35 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Суммирование
1. Найдите сумму 4/3+19/9+82/27+…+(3^n·n+1)/3^n.
2. Найдите сумму (2+1/2)^2+(2^2+1/2^2)^2+(2^3+1/2^3)^2+…+(2^n+1/2^n)^2.
3. Найдите сумму 1/(3·7)+1/(7·11)+1/(11·15)+…+1/((4n-1)·(4n+3)).

1. Преобразуем общий член суммы:

   $$\frac{3^k\cdot k+1}{3^k}=k+\frac{1}{3^k}.$$

   Тогда

   $$ \frac{4}{3}+\frac{19}{9}+\frac{82}{27}+\cdots+\frac{3^n\cdot n+1}{3^n} =(1+\frac13)+(2+\frac19)+(3+\frac1{27})+\cdots+\left(n+\frac1{3^n}\right). $$

   Сгруппируем отдельно целые и дробные части:

   $$ (1+2+3+\cdots+n)+\left(\frac13+\frac19+\frac1{27}+\cdots+\frac1{3^n}\right). $$

   Используем формулы:

   $$1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2},$$

   $$ \frac13+\frac19+\cdots+\frac1{3^n} =\frac13\cdot\frac{1-\left(\frac13\right)^n}{1-\frac13} =\frac12\left(1-\frac1{3^n}\right). $$

   Тогда

   $$ S=\frac{n(n+1)}{2}+\frac12\left(1-\frac1{3^n}\right) =\frac{n^2+n+1}{2}-\frac1{2\cdot 3^n}. $$

2. Раскроем квадрат в каждом слагаемом:

   $$ \left(2^k+\frac1{2^k}\right)^2=2^{2k}+2+\frac1{2^{2k}}. $$

   Тогда

   $$ \left(2+\frac12\right)^2+\left(2^2+\frac1{2^2}\right)^2+\cdots+\left(2^n+\frac1{2^n}\right)^2 $$

   $$ =(2+2+\cdots+2)+\left(2^2+2^4+\cdots+2^{2n}\right)+\left(\frac1{2^2}+\frac1{2^4}+\cdots+\frac1{2^{2n}}\right). $$

   Первую сумму считаем сразу:

   $$2+2+\cdots+2=2n.$$

   Остальные две — геометрические прогрессии:

   $$ 2^2+2^4+\cdots+2^{2n} =4\cdot\frac{4^n-1}{4-1} =\frac{4^{n+1}-4}{3}, $$

   $$ \frac1{2^2}+\frac1{2^4}+\cdots+\frac1{2^{2n}} =\frac14\cdot\frac{1-\left(\frac14\right)^n}{1-\frac14} =\frac13\left(1-\frac1{4^n}\right). $$

   Складываем:

   $$ S=2n+\frac{4^{n+1}-4}{3}+\frac13\left(1-\frac1{4^n}\right) =2n+\frac{4^{n+1}}{3}-1-\frac1{3\cdot 4^n}. $$

3. Преобразуем каждое слагаемое:

   $$ \frac1{(4k-1)(4k+3)} =\frac14\left(\frac1{4k-1}-\frac1{4k+3}\right). $$

   Тогда сумма телескопическая:

   $$ \frac1{3\cdot 7}+\frac1{7\cdot 11}+\frac1{11\cdot 15}+\cdots+\frac1{(4n-1)(4n+3)} $$

   $$ =\frac14\left(\frac13-\frac17+\frac17-\frac1{11}+\frac1{11}-\frac1{15}+\cdots+\frac1{4n-1}-\frac1{4n+3}\right). $$

   Сокращая, получаем:

   $$ S=\frac14\left(\frac13-\frac1{4n+3}\right) =\frac1{12}-\frac1{4(4n+3)}. $$

Ответ

1) $$\frac{n^2+n+1}{2}-\frac1{2\cdot 3^n}$$

2) $$2n+\frac{4^{n+1}}{3}-1-\frac1{3\cdot 4^n}$$

3) $$\frac1{12}-\frac1{4(4n+3)}$$