Вариант 1 Самостоятельная работа 34 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Представление о пределе последовательности. Сумма бесконечной геометрической прогрессии, у которой модуль знаменателя меньше единицы
1. Найдите сумму бесконечной геометрической прогрессии:
1) 36, -12, 4, … ; 2) 21, 3v7, 3, … .
2. Запишите в виде обыкновенной дроби число:
1) 0,777… ; 2) 8,3(18).
3. В бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем q, где |q| < 1, сумма членов с нечётными номерами равна 24, а сумма членов с чётными номерами равна 4. Найдите первый член и знаменатель прогрессии.

Подробный ответ

Для бесконечной геометрической прогрессии используем формулу суммы:
$$S=\frac{b_1}{1-q}, \quad |q|<1.$$
1) $$36,\,-12,\,4,\ldots$$
$$b_1=36,\quad q=\frac{-12}{36}=-\frac13.$$
$$S=\frac{36}{1-(-\frac13)}=\frac{36}{1+\frac13}=\frac{36}{\frac43}=27.$$
2) $$21,\,3\sqrt7,\,3,\ldots$$
$$b_1=21,\quad q=\frac{3\sqrt7}{21}=\frac{\sqrt7}{7}.$$
$$S=\frac{21}{1-\frac{\sqrt7}{7}}=\frac{147}{7-\sqrt7}.$$
Рационализуем знаменатель:
$$S=\frac{147(7+\sqrt7)}{(7-\sqrt7)(7+\sqrt7)}=\frac{147(7+\sqrt7)}{49-7}=3{,}5(7+\sqrt7).$$
Представим периодические дроби в виде суммы бесконечной геометрической прогрессии.
1) $$0{,}777\ldots = 0{,}7+0{,}07+0{,}007+\ldots$$
Здесь $$b_1=0{,}7,\quad q=0{,}1.$$ Тогда
$$S=\frac{0{,}7}{1-0{,}1}=\frac{0{,}7}{0{,}9}=\frac79.$$
2) $$8{,}3(18)=8{,}3+0{,}018+0{,}00018+\ldots$$
Для дробной части:
$$b_1=0{,}018,\quad q=0{,}01.$$
$$0{,}018+0{,}00018+\ldots=\frac{0{,}018}{1-0{,}01}=\frac{0{,}018}{0{,}99}=\frac1{55}.$$
Тогда
$$8{,}3(18)=\frac{83}{10}+\frac1{55}=\frac{183}{22}.$$
Пусть сумма членов с нечётными номерами равна $$24$$, а с чётными — $$4$$.
Тогда сумма чётных членов получается из суммы нечётных умножением на $$q$$:
$$4=24q,\quad q=\frac16.$$
Сумма всей прогрессии:
$$S=24+4=28.$$
По формуле суммы бесконечной геометрической прогрессии:
$$28=\frac{b_1}{1-\frac16}=\frac{b_1}{\frac56}.$$
Отсюда
$$b_1=28\cdot \frac56=\frac{70}{3}=23\frac13.$$