Вариант 1 Самостоятельная работа 33 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Сумма n первых членов геометрической прогрессии
1. Геометрическая прогрессия (b_n) задана формулой n-го члена b_n=3·2^(n+1). Найдите сумму шести первых членов прогрессии.
2. Сумма n первых членов геометрической прогрессии равна 2 046. Найдите n, если первый член прогрессии равен 6, а знаменатель прогрессии равен 4.
3. Для любого натурального n сумму n первых членов некоторой последовательности можно вычислить по формуле S_n=2(5^n-1). Докажите, что данная последовательность является геометрической прогрессией.

1. Найдём первые члены прогрессии:

   $$b_n=3\cdot 2^{n+1}$$

   $$b_1=3\cdot 2^2=12,\quad b_2=3\cdot 2^3=24$$

   Знаменатель прогрессии:

   $$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{24}{12}=2$$

   Тогда сумма первых шести членов:

   $$S_6=\frac{b_1(q^6-1)}{q-1}=\frac{12(2^6-1)}{2-1}=12\cdot 63=756$$

2. Используем формулу суммы первых $n$ членов геометрической прогрессии:

   $$S_n=\frac{b_1(q^n-1)}{q-1}$$

   Подставим данные:

   $$2046=\frac{6(4^n-1)}{4-1}$$

   $$2046=2(4^n-1)$$

   $$4^n-1=1023$$

   $$4^n=1024=4^5$$

   Следовательно, $$n=5$$.

3. Дано:

   $$S_n=2(5^n-1)$$

   Найдём первые члены последовательности:

   $$S_1=2(5-1)=8$$

   $$S_2=2(25-1)=48$$

   Тогда

   $$b_1=S_1=8$$

   $$b_2=S_2-S_1=48-8=40$$

   Найдём знаменатель:

   $$q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{40}{8}=5$$

   Проверим общий член:

   $$b_n=S_n-S_{n-1}$$

   $$b_n=2(5^n-1)-2(5^{n-1}-1)=2\cdot 5^{n-1}(5-1)=8\cdot 5^{n-1}$$

   Значит, $$b_n=b_1q^{n-1}=8\cdot 5^{n-1}$$, то есть данная последовательность является геометрической прогрессией.

Ответ

1) $$756$$; 2) $$5$$; 3) последовательность является геометрической прогрессией, $$b_n=8\cdot 5^{n-1}$$.