Вариант 1 Самостоятельная работа 32 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Геометрическая прогрессия
1. Между числами 16 и 81 вставьте три таких числа, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию. Запишите полученную прогрессию.
2. Найдите первый член и знаменатель геометрической прогрессии (b_n), если b_10=9b_8 и b_3+b_6=168.
3. Сумма трёх чисел, образующих арифметическую прогрессию, равна 90. Если из этих чисел вычесть соответственно 7, 18 и 2, то полученные числа образуют геометрическую прогрессию. Найдите исходные числа.

Подробный ответ

Пусть искомая геометрическая прогрессия имеет вид $$16,\ b_2,\ b_3,\ b_4,\ 81.$$ Тогда
$$b_5=b_1q^4,$$
то есть
$$16q^4=81.$$
Отсюда
$$q^4=\frac{81}{16}, \quad q=\pm \frac{3}{2}.$$
Находим промежуточные члены:
$$b_2=16q=\pm 24,$$
$$b_3=16q^2=36,$$
$$b_4=16q^3=\pm 54.$$
Получаем две прогрессии:
$$16;\ 24;\ 36;\ 54;\ 81$$
и
$$16;\ -24;\ 36;\ -54;\ 81.$$
Из условия $$b_{10}=9b_8$$ получаем:
$$b_1q^9=9b_1q^7,$$
$$q^2=9,\quad q=\pm 3.$$
Из условия $$b_3+b_6=168$$ имеем:
$$b_1q^2+b_1q^5=168.$$
1) Если $$q=3$$, то
$$9b_1+243b_1=168,$$
$$252b_1=168,$$
$$b_1=\frac{2}{3}.$$
2) Если $$q=-3$$, то
$$9b_1-243b_1=168,$$
$$-234b_1=168,$$
$$b_1=-\frac{28}{39}.$$
Пусть три числа арифметической прогрессии равны $$30-d,\ 30,\ 30+d,$$ так как их сумма равна $$90$$.
После вычитания получаем числа:
$$23-d,\ 12,\ 28+d.$$
Они образуют геометрическую прогрессию, значит:
$$12^2=(23-d)(28+d).$$
Тогда
$$144=644-5d-d^2,$$
$$d^2+5d-500=0.$$
$$D=5^2+4\cdot 500=2025,$$
$$d_1=\frac{-5-45}{2}=-25,\quad d_2=\frac{-5+45}{2}=20.$$
Если $$d=-25$$, то исходные числа:
$$55,\ 30,\ 5.$$
Если $$d=20$$, то исходные числа:
$$10,\ 30,\ 50.$$