Вариант 1 Самостоятельная работа 31 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Сумма n первых членов арифметической прогрессии
1. Арифметическая прогрессия (a_n) задана формулой n-го члена: a_n=2n-3. Найдите сумму тридцати шести первых членов прогрессии.
2. Для любого натурального значения n сумму n первых членов некоторой арифметической прогрессии можно вычислить по формуле S_n=4n^2-5n. Найдите первый член и разность этой прогрессии.
3. Девятнадцатый член арифметической прогрессии равен 16. Найдите сумму тридцати семи первых членов прогрессии.

1. Найдём первый и тридцать шестой члены прогрессии:

   $$a_1=2\cdot 1-3=-1,$$

   $$a_{36}=2\cdot 36-3=69.$$

   Тогда сумма первых 36 членов:

   $$S_{36}=\frac{a_1+a_{36}}{2}\cdot 36=\frac{-1+69}{2}\cdot 36=34\cdot 36=1224.$$

2. По формуле суммы:

   $$S_n=4n^2-5n.$$

   Найдём первые суммы:

   $$S_1=4-5=-1,$$

   $$S_2=16-10=6.$$

   Так как $$a_1=S_1,$$ то

   $$a_1=-1.$$

   Далее

   $$a_2=S_2-S_1=6-(-1)=7,$$

   значит, разность прогрессии

   $$d=a_2-a_1=7-(-1)=8.$$

3. Используем формулу общего члена:

   $$a_{19}=a_1+18d=16.$$

   Тогда

   $$a_1+18d=16.$$

   Сумма первых 37 членов:

   $$S_{37}=\frac{a_1+a_{37}}{2}\cdot 37.$$

   Так как

   $$a_{37}=a_1+36d,$$

   то

   $$S_{37}=\frac{a_1+a_1+36d}{2}\cdot 37=(a_1+18d)\cdot 37.$$

   Но $$a_1+18d=16,$$ значит

   $$S_{37}=16\cdot 37=592.$$

Ответ

1) $$1224$$; 2) $$a_1=-1,\ d=8$$; 3) $$592$$.