Вариант 1 Самостоятельная работа 30 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Арифметическая прогрессия
1. Найдите первый отрицательный член арифметической прогрессии 5,3; 4,9; 4,5; … .
2. Найдите первый член и разность арифметической прогрессии (a_n), если a_4+a_8=35 и a_3+a_21=65.
3. При каком значении n значения выражений n^2, 2n+3, 3n+4 и n^2+n+7 будут последовательными членами арифметической прогрессии? Найдите эти члены Прогрессии.

Подробный ответ

Для прогрессии $$5{,}3;\ 4{,}9;\ 4{,}5;\ldots$$ имеем
$$a_1=5{,}3,\quad d=4{,}9-5{,}3=-0{,}4.$$
Ищем первый отрицательный член:
$$a_n=a_1+d(n-1)<0,$$
$$5{,}3-0{,}4(n-1)<0,$$
$$5{,}3-0{,}4n+0{,}4<0,$$
$$5{,}7<0{,}4n,$$
$$n>14{,}25.$$
Значит, первый отрицательный член — это $$a_{15}.$$
Из условий:
$$a_4+a_8=35,\quad a_3+a_{21}=65.$$
Так как $$a_n=a_1+d(n-1),$$ получаем:
$$a_4=a_1+3d,\quad a_8=a_1+7d,$$
$$a_3=a_1+2d,\quad a_{21}=a_1+20d.$$
Тогда
$$a_1+3d+a_1+7d=35,$$
$$2a_1+10d=35,$$
$$2a_1+2d+a_1+20d=65,$$
$$2a_1+22d=65.$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$12d=30,$$
$$d=2{,}5.$$
Подставим в $$2a_1+10d=35$$:
$$2a_1+25=35,$$
$$2a_1=10,$$
$$a_1=5.$$
Члены $$n^2,\ 2n+3,\ 3n+4,\ n^2+n+7$$ должны быть последовательными членами арифметической прогрессии, значит средние члены равны среднему арифметическому соседних:
$$2(2n+3)=n^2+(3n+4),$$
$$2(3n+4)=(2n+3)+(n^2+n+7).$$
Из первого уравнения:
$$4n+6=n^2+3n+4,$$
$$n^2-n-2=0,$$
$$\left(n-2\right)\left(n+1\right)=0,$$
$$n=2 \text{ или } n=-1.$$
Из второго уравнения:
$$6n+8=n^2+3n+10,$$
$$n^2-3n+2=0,$$
$$\left(n-1\right)\left(n-2\right)=0,$$
$$n=1 \text{ или } n=2.$$
Общее значение: $$n=2.$$ Тогда члены прогрессии:
$$n^2=4,\quad 2n+3=7,\quad 3n+4=10,\quad n^2+n+7=13.$$