Вариант 1 Самостоятельная работа 3 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Задача

Чётные и нечётные функции
1. Функция f нечётная. Может ли выполняться равенство f(3)·f(-3)=4?
2. Исследуйте на чётность функцию:
1) y=(x^5+x^4)/(x+1); 3) y=v(5+x)-v(5-x).
2) y=x^7-3x^2;
3. Известно, что min([-4; -2], f(x))=-1, max([-4; -2], f(x))=3. Найдите min([2; 4], f(x)) и max([2; 4], f(x)), если:
1) f — чётная функция; 2) f — нечётная функция.
4. При каких значениях параметра a уравнение x^4-ax^2+a^2-2a-3=0 имеет единственный корень?

Подробный ответ

Так как функция нечётная, то $$f(-3)=-f(3).$$ Тогда
$$f(3)\cdot f(-3)=f(3)\cdot(-f(3))=-(f(3))^2.$$
Это число не может быть равно $$4,$$ так как $$-(f(3))^2\le 0.$$
1) $$y=\dfrac{x^5+x^4}{x+1}, \quad x\ne -1.$$
$$y(-x)=\dfrac{(-x)^5+(-x)^4}{-x+1}=\dfrac{-x^5+x^4}{1-x}=\dfrac{x^5-x^4}{x-1}.$$
Это не равно ни $$y(x),$$ ни $$-y(x),$$ значит функция общего вида.
2) $$y=x^7-3x^2.$$
$$y(-x)=(-x)^7-3(-x)^2=-x^7-3x^2.$$
Это не равно ни $$y(x),$$ ни $$-y(x),$$ значит функция общего вида.
3) $$y=\sqrt{5+x}-\sqrt{5-x}.$$
Область определения: $$5+x\ge 0,\; 5-x\ge 0,$$ то есть $$x\in[-5;5].$$
$$y(-x)=\sqrt{5-x}-\sqrt{5+x}=-y(x).$$
Значит, функция нечётная.
Дано: $$\min_{[-4;-2]} f(x)=-1,\qquad \max_{[-4;-2]} f(x)=3.$$
1) Если $$f$$ — чётная функция, то на симметричном промежутке $$[2;4]$$ значения такие же:
$$\min_{[2;4]} f(x)=-1,\qquad \max_{[2;4]} f(x)=3.$$
2) Если $$f$$ — нечётная функция, то значения на симметричном промежутке меняют знак:
$$\min_{[2;4]} f(x)=-3,\qquad \max_{[2;4]} f(x)=1.$$
Рассмотрим уравнение
$$x^4-ax^2+a^2-2a-3=0.$$
Положим $$t=x^2,\quad t\ge 0.$$ Тогда
$$t^2-at+a^2-2a-3=0.$$
Чтобы уравнение по $$x$$ имело единственный корень, возможен только случай $$x=0$$ как единственное решение. Тогда
$$a^2-2a-3=0.$$
$$a^2-2a-3=(a-3)(a+1)=0,$$
откуда $$a=3$$ или $$a=-1.$$
Проверим:
при $$a=-1$$
$$x^4+x^2=0 \;\Rightarrow\; x^2(x^2+1)=0 \;\Rightarrow\; x=0;$$
при $$a=3$$
$$x^4-3x^2=0 \;\Rightarrow\; x^2(x^2-3)=0 \;\Rightarrow\; x=0,\; x=\pm\sqrt{3}.$$
Единственный корень получается только при $$a=-1.$$