Вариант 1 Самостоятельная работа 29 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)

Числовые последовательности
1. Найдите три первых члена последовательности (a_n), если a_1=-3, a_(n+1)=3a_n+2.
2. Последовательность (a_n) задана формулой n-го члена a_n=6n-1. Является ли членом этой последовательности число: 1) 17; 2) 36? В случае утвердительного ответа укажите номер этого члена.
3. Последовательность (a_n) задана формулой n-го члена a_n=n^2-4n+2. Найдите количество членов этой последовательности, которые меньше числа 14.
4. Найдите все такие значения а, при которых последовательность, заданная условиями x_1=a, x_(n+1)=x_n^2-7x_n+7, является стационарной.

1. Вычислим первые члены последовательности:

   $$a_1=-3$$

   $$a_2=3a_1+2=3\cdot(-3)+2=-9+2=-7$$

   $$a_3=3a_2+2=3\cdot(-7)+2=-21+2=-19$$

2. Проверим, является ли число членом последовательности $$a_n=6n-1$$.

   1) $$6n-1=17$$

   $$6n=18,\quad n=3$$

   Значит, $$17$$ — это член последовательности, его номер $$3$$.

   2) $$6n-1=36$$

   $$6n=37,\quad n=\frac{37}{6}$$

   Натурального значения $$n$$ нет, значит, число $$36$$ не является членом последовательности.

3. Найдём, при каких $$n$$ выполняется неравенство:

   $$n^2-4n+2<14$$

   $$n^2-4n-12<0$$

   $$\left(n+2\right)\left(n-6\right)<0$$

   Отсюда:

   $$-2<n<6$$

   Так как $$n$$ — натуральное число, получаем $$n=1,2,3,4,5$$. Всего 5 членов.

4. Последовательность стационарна, если для всех $$n$$ выполняется $$x_{n+1}=x_n$$. Тогда при $$x_1=a$$ должно быть:

   $$a=a^2-7a+7$$

   $$a^2-8a+7=0$$

   $$D=64-28=36$$

   $$a_{1,2}=\frac{8\pm 6}{2}$$

   $$a_1=1,\quad a_2=7$$

Ответ

1) $$-3,\,-7,\,-19$$; 2) $$17$$ — да, номер $$3$$; $$36$$ — нет; 3) $$5$$; 4) $$1,\,7$$.