Вариант 1 Контрольная работа 3 ГДЗ Мерзляк Полонский 9 класс (Алгебра)
Уравнения с двумя переменными и их системы
1. Решите уравнение x^2+4x+y^2-8y+20=0.
2. Постройте график уравнения |y-x^2|=|x^2-2|.
3. Решите систему уравнений:
1) {x+2y=-1, 3x^2+5xy=-2};
2) {3xy-2=x^3 /y, 2x-1=y^3 /x};
3) {x^2-3xy+2y^2=3, x^2+4xy-2y^2=1}.
4. При каких значениях параметра a система уравнений {x^2+(y-a)^2=16, y-2|x|+3=0} имеет три решения?
$$x^2+4x+y^2-8y+20=0$$
Сгруппируем и дополним до квадратов:
$$x^2+4x+4+y^2-8y+16=0$$
$$\left(x+2\right)^2+\left(y-4\right)^2=0$$
Сумма квадратов равна нулю только тогда, когда каждый квадрат равен нулю:
$$x+2=0,\quad y-4=0$$
$$x=-2,\quad y=4$$
$$|y-x^2|=|x^2-2|$$
Рассмотрим два случая:
1) $$y-x^2=x^2-2$$, тогда
$$y=2x^2-2$$
2) $$y-x^2=-(x^2-2)$$, тогда
$$y=2$$
Значит, график состоит из параболы $$y=2x^2-2$$ и прямой $$y=2$$.
1) $$\begin{cases}x+2y=-1,\\ 3x^2+5xy=-2.\end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$x=-2y-1$$
Подставим во второе:
$$3(-2y-1)^2+5(-2y-1)y=-2$$
$$3(4y^2+4y+1)-10y^2-5y=-2$$
$$2y^2+7y+5=0$$
$$D=7^2-4\cdot 2\cdot 5=9$$
$$y_1=\frac{-7-3}{4}=-\frac52,\quad y_2=\frac{-7+3}{4}=-1$$
Тогда
$$x_1=-2\left(-\frac52\right)-1=4,\quad x_2=-2(-1)-1=1$$
Ответ: $$\left(4;-\frac52\right),\ (1;-1)$$
2) $$\begin{cases}3xy-2=\dfrac{x^3}{y},\\ 2x-1=\dfrac{y^3}{x}.\end{cases}$$
Умножим первое уравнение на $$y$$, второе — на $$x$$:
$$3xy^2-2y=x^3$$
$$2x^2-x=y^3$$
Перемножим исходные уравнения:
$$\left(3xy-2\right)\left(2x-1\right)=x^2y^2$$
После преобразований получаем:
$$5x^2y^2-7xy+2=0$$
Обозначим $$t=xy$$. Тогда
$$5t^2-7t+2=0$$
$$D=49-40=9$$
$$t_1=\frac{7-3}{10}=\frac25,\quad t_2=\frac{7+3}{10}=1$$
Если $$xy=\frac25$$, то решений нет.
Если $$xy=1$$, то $$y=\dfrac1x$$ и
$$3x\cdot \frac1x-2=\frac{x^3}{1/x}$$
$$1=x^4$$
$$x=\pm 1,\quad y=\pm 1$$
Ответ: $$(-1;-1),\ (1;1)$$
3) $$\begin{cases}x^2-3xy+2y^2=3,\\ x^2+4xy-2y^2=1.\end{cases}$$
Сложим уравнения:
$$2x^2+xy=4$$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$7xy-4y^2=-2$$
Решая систему, получаем четыре пары:
$$(-1;-2),\ \left(-\frac{8}{\sqrt{30}};\frac{1}{\sqrt{30}}\right),\ (1;2),\ \left(\frac{8}{\sqrt{30}};-\frac{1}{\sqrt{30}}\right)$$
$$\begin{cases}x^2+(y-a)^2=16,\\ y-2|x|+3=0.\end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$y=2|x|-3$$
Это график с вершиной в точке $$\left(0;-3\right)$$.
Первое уравнение задаёт окружность с центром $$\left(0;a\right)$$ и радиусом $$4$$.
Чтобы система имела три решения, окружность должна касаться вершины графика и ещё пересекать его в двух точках. Значит, расстояние от центра окружности до вершины равно радиусу:
$$|a-(-3)|=4$$
$$|a+3|=4$$
$$a=1 \text{ или } a=-7$$
Но при $$a=-7$$ окружность не даёт трёх точек пересечения с графиком, поэтому подходит только
$$a=1$$
Ответ
1) $$(-2;4)$$
2) $$y=2x^2-2$$ и $$y=2$$
3) 1) $$\left(4;-\frac52\right),\ (1;-1)$$; 2) $$(-1;-1),\ (1;1)$$; 3) $$(-1;-2),\ \left(-\frac{8}{\sqrt{30}};\frac{1}{\sqrt{30}}\right),\ (1;2),\ \left(\frac{8}{\sqrt{30}};-\frac{1}{\sqrt{30}}\right)$$
4) $$a=1$$
